Drei Fragen zu Hilberträumen und Fockbasen

[TomS]

Eine Basis eines Hilbertraumes H mit

heißt Fockbasis, wenn ihre Vektoren geschrieben werden können als

so dass

gilt.

Für einen separablen Hilbertraum gilt, dass abzählbare Basen existieren und dass diese unitär transformiert werden können, d.h.

Alle separablen Hilberträume sind zum Raum der quadratintegrablen Folgen l² und damit untereinander unitär äquivalent.


Das Haagsche Theorem besagt nun salopp, dass die Darstellung der wechselwirkenden Theorie nicht unitär äquivalent zur Fockdarstellung der freien Theorie ist, d.h., dass die wechselwirkende Theorie in einem "renormierten Hilbertraum lebt", der nicht dem der freien Theorie entspricht.

Dazu drei Fragen:

1. wie kann man das noch präziser fassen?
2. wie verträgt sich das damit, dass alle separablen Hilberträume untereinander unitär äquivalent sind? ist ein Fockraum gar nicht separabel, und wir sehen das nur nicht, weil wir immer nur sehr speziell konstruierte Zustände betrachten?
3. betrachten wir den Hilbertraum der wechselwirkenden Theorie: kann man zeigen, dass in ihm keine Fockbasis existiert, d.h. dass es keine Teilchenzahloperatoren etc. gibt, so dass die o.g. Konstruktion nicht durchgeht? oder ist die Aussage schwächer, d.h. es gibt zwar eine Fockbasis, aber diese kennt man erst, wenn man die wechselwirkende Theorie gelöst hat? (für separable Hilberträume wohl letzteres, denn mittels unitärer Äquivalenz zum l² kann ich ja eine Matrixdarstellung der Erzeuger und Vernichter und damit eine Fockbasis explizit konstruieren)

@A.Neumaier - Können Sie das kommentieren?

 

[A.Neumaier]

1. wie kann man das noch präziser fassen?
2. wie verträgt sich das damit, dass alle separablen Hilberträume untereinander unitär äquivalent sind? ist ein Fockraum gar nicht separabel, und wir sehen das nur nicht, weil wir immer nur sehr speziell konstruierte Zustände betrachten?
3. betrachten wir den Hilbertraum der wechselwirkenden Theorie: kann man zeigen, dass in ihm keine Fockbasis existiert, d.h. dass es keine Teilchenzahloperatoren etc. gibt, so dass die o.g. Konstruktion nicht durchgeht? oder ist die Aussage schwächer, d.h. es gibt zwar eine Fockbasis, aber diese kennt man erst, wenn man die wechselwirkende Theorie gelöst hat? (für separable Hilberträume wohl letzteres, denn mittels unitärer Äquivalenz zum l² kann ich ja eine Matrixdarstellung der Erzeuger und Vernichter und damit eine Fockbasis explizit konstruieren)

@A.Neumaier - Können Sie das kommentieren?

1. Eine präzise Formulierung ist hier.
2. Fockräume sind separabel, wenn der 1-Teilchenraum separabel ist. Aber Physiker meinen mit ''Hilbertraum'' nie abstrakte Hilbertäume (die im separablen Fall alle unitär isomorph sind), sondern immer solche, der die physikalisch relevante Observablenalgebra unitär repräsentiert. Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, die diese Algebra erhalten.
3. Es gibt keinen Teilchenzahloperator in der physikalischen Observablenalgebra eienr welchselwirkenden relativistischen QFT. Eine unitäre Transformation auf einen Fockraum kann also die Observablenalgebra nicht erhalten.

 

[Bernhard]

Hat man beim Haagschen Theorem immer die Einschränkung auf abzählbare Basen? Die einfachsten QFTs (wie zB bei der Quantisierung der Klein-Gordon-Gleichung) haben doch immer eine überabzählbare Basis mit einem kontinuierlichen Parameter, wie dem Viererimpuls?