Dopplereffekt und Timeline-Animation

[julian apostata]

Mitunter hat mich auch dieser Thread dazu veranlasst, ein neues Thema zu eröffnen.

http://astronews.com/forum/showthread.php?6677-Zeitdilatation-Gedankenexperiment

Nun könnte ich zwar ein Minkowskidiagramm zum Thema malen, damit kann man allerdings nur 2 Dimensionen darstellen (x und t). Aber warum überhaupt noch Minkowski? Wir leben doch im 21 Jahrhundert und inzwischen haben wir ganz andere Möglichkeiten, als noch im Jahre 1910.

Bei der Visualisierung dieses Effektes jedenfalls hilft uns Minkowski nicht weiter.

https://de.wikipedia.org/wiki/Doppler-Effekt#Doppler-Effekt_bei_beliebigem_Winkel

Wohl aber klappt die Sache mit der Time-Line-Animation, denn jetzt lassen sich 3 Dimensionen visualisieren (t,x,y)

http://www.geogebra.org/m/W8ByVKFX?doneurl=/julian%2Bapostata

Zunächst mal ein paar grundlegende Dinge, wie man eine TLA liest. 0.8*c ist ja schon eingestellt. Schieben wir beispielsweise t von 0 auf 5, so laufen über jeden Punkt des blauen Kreises 3 Timelines.

Natürlich läuft nicht nur die Zeit in Blau langsamer als in Rot. Die Zeit läuft zugleich in Rot langsamer als in Blau. Lassen wir nämlich 5 Timelines über jeden roten Punkt laufen, so mussten wir den roten Schieber nur 3 Einheiten bewegen.

Die Längenkontraktion kann man direkt am blauen Kreis (Radius=1) erkennen, der zu einer Ellipse kontrahiert erscheint. Natürlich sind auch die roten Maßstäbe aus Sicht von Blau kontrahiert. TL(0) steht ja am Anfang bei x=0. Um jetzt zu ermitteln, wo sich der rechte Kreisrand zur Zeit t'=0, müssen wir TL(0) dort hin verschieben. Also x=1.66... Es passen also (5/3) rote Einheiten auf eine blaue Einheit.

Dass ein und dasselbe Photon sowohl in Rot als auch in Blau die selbe Geschwindigkeit hat, erkennt man daran: Sobald der Kreismittelpunkt ein Photon emittiert, läuft eine TL drüber. Und exakt in dem Moment, wo es den Kreisrand erreicht, steht auch schon die nächste TL bereit, egal welchen Winkel wir eingestellt haben.

Doch jetzt zum Dopplereffekt: Der blaue Stab schickt immer zum Zeitpunkt t'=0,1,2,3... eine Lichtfront im Winkel alfa bzw . alfa' bezüglich der Fahrtrichtung des Kreises.

Gleichzeitig in Blau heißt natürlich nicht (Ausnahme: alfa =0° oder 180°) gleichzeitig in Rot, was man ja unschwer an den TL erkennen kann.

Wie man eine TLA erstellt, ist seit über hundert Jahren bekannt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lorentz-Transformation

Ihr braucht nur bis zur ersten Gleichung zu lesen und mit eine paar einfachen Umformungen könnt ihr diese 2 Fragen beantworten. Gegeben sei v.

1. Welchen Abstand müssen die Timelines haben?
2. Wie schnell müssen sie in der Animation laufen?

Wenn bis morgen niemand die Aufgabe gelöst hat, kommt von mir die Auflösung.

 

[julian apostata]

Den Thread hab ich eigentlich auch deswegen eröffnet, weil da immer wieder sogenannte SRT-Paradoxa durch's Netz geistern.

Wenn also irgendjemand meint, er hätte da einen unauflöslichen Widerspruch entdeckt, dann nur her damit. Mit Hilfe der TLA lässt jeder davon spielend auflösen.

Und warum ich von Minkowskidiagrammen im 21. jahrhundert überhaupt nichts halte, sei an einem einfachen Beispiel demonstriert.

Stellt mal in der TLA alfa=alfa'=180°, v=0.8 ein und t=5 ein. Und jetzt guckt auf die Photonen

A: t=5 x=4 t'=3 x'=0
B: t=5 x=1 t'=7 x'=-5

Mal ehrlich. Sieht da jeder gleich dass A und B in Rot gleichzeitig geschehen? Und dass der zeitliche Abstand in Blau 4 beträgt?

http://www.fotos-hochladen.net/uploads/m2caye9k2l5o.gif

Also, ich hab im ersten Moment nicht gleich durchgeblickt und das obwohl das Zeichnen mit "geogebra" ein Kinderspiel ist (verglichen mit dem Erstellen der Animation).

Und was die Aufgabe anbelangt. Es sollen sich bitte keine Fachleute melden, die sind für so was völlig überqualifiziert, weil man nur simpelste Realschulmathematik benötigt.

Also zu 1. gegeben t=0 t'=1 x=?
zu 2. gegeben t=1 t'=0 x=? und wieviel ist dann x/t?

 

[julian apostata]

Also zu 1. gegeben t=0 t'=1 x=?
zu 2. gegeben t=1 t'=0 x=? und wieviel ist dann x/t?

Lorentztransformation für Dummies! Tatsächlich brauchen wir uns nur die 1. Gleichung vornehmen und nach x auflösen.

$$t'=\gamma\left(t-\frac{v}{c^2}\,x\right)\rightarrow x=\left(t-t'\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}\right)\cdot \frac{c^2}{v}$$

Und wenn wir c=1 setzten und sowohl für Raum und Zeit keine Dimensionen verwenden, können wir aus der einfachen Umformung folgern:

Timelines haben einen Abstand von sqrt(1-v²/c²)/v und sind mit einer Geschwindigkeit von c/v unterwegs.

Das heißt: Wenn wir vorher w=sqrt(1-v²) eingegeben haben, so lassen sich beispielsweise 10 wandernde Timelinepunkte mit nur einem einzigen Befehl realisieren.

Folge[((n w + t) / v, 1.5), n, -9, 0]

Die ruhenden roten Linealpunkte macht man so:

Folge[(n, 0), n, 0, 9]

und die wandernde blau Ellipse so_

(x - v t)² / w² + y² = 1

Oh mein Gott, wenn nur alles auf der Welt so einfach wäre!