ja, Du hast recht; ich gehe sogar noch einen Schritt weiter: es darf nur IQ, die minimale dichte Menge in IR, sein. Und vermutlich ist es nur eine endliche Teilmenge davon ...
Hallo zusammen,
für Leute, die uns Mathematiker für "Spiesser" halten, habe ich hier noch eine feine Sache:
Als Grundmenge kann man natürlich wie von pane angeregt die rationale Zahlen IQ verwenden, welche ja dicht in den reellen Zahlen IR liegen, so dass man mit Hilfe der Dreieckungleichung jede reelle Zahl
beliebig genau mit rationale Zahlen annähern kann.
Nun ist es aber nicht so, dass IQ die einzige Menge ist, welche dicht in IR liegt; auch die Menge IQ*sqrt(2) hat diese Eigenschaft. Und mit Ausnahme des Nullpunktes ist sie völlig disjunkt zu IQ, aber gleichmächtig, da man ja eine Bijektion b von IQ <-> IQ*sqrt(2) bilden kann, indem man q <-> q*sqrt(2) eineindeutig abbildet.
Nun kann man aber eine Funktion definieren, die auf IQ eine gewisse Eigenschaft und auf IQ*sqrt(2) eine ganz andere Eigenschaft hat. Und da die Menge der Nicht-Quadratzahlen, oder wollen wir der bequemlichkeit halber die Menge der Primzahlen, unendlich gross ist, kann man also neben IQ, IQ*sqrt(2), IQ*sqrt(3) auch IQ*sqrt(p) mit p Primzahl betrachten, d.h. wir haben unendlich viele Mengen, die alle dicht in IR liegen und die man mit anderen Eigenschaften ausstatten kann.
Diese Funktion kann man dann so einrichten, dass sie in gewissen Intervallen stetig ist und in anderen nicht, ganz wie es beliebt ... - und wir befinden uns in IR und keineswegs in einem fraktalen Cantor'schen Diskontinuum, welches als kompakte, perfekte, total unzusammenhängende und nirgends dichte Menge natürlich etwas gewöhnungsbedürftig ist.
Freundliche Grüsse, Ralf