Ja, die Untiefen mathematischer Notation. Das "d" selbst ist nichts gescheites, da muss schon was dabei stehen, worauf es sich bezieht. d(a³) ist zum Beispiel etwas, was man kürzen könnte (wenn auch unter Protest vieler Puristen). Das ist so wie aus f(a) = f(b) keineswegs a=b folgt. Du kannst nicht durch f teilen, nur durch f(a) oder f(b).
DE, Dark Energy (vis à vis)
- Ersteller Dgoe
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ralfkannenberg
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d=Differential oder so
Neben dem Δ und den d gibt es dann auch noch diese schiefen d's.
Bernhard
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Die Funktionalableitung mit \( \delta \) brauchen wir hier voraussichtlich nicht. Oder gibt es da nochmal andere ds?
Bernhard
Registriertes Mitglied
Ja, das falsche Vakuum ist schon eine "heiße" Sache. Man findet ein paar Infos dazu auch im Wikipedia-Artikel zu "Inflation (Kosmologie)".
Im allgemeinen Fall geht es überhaupt nicht.
Eben. und die allerallermeisten Funktionen sind sowas von unstetig. Funktion heisst doch nur, dass ich ein Abbildung von einer Menge in einer anderen habe. Wenn ich einem Wert einen anderen zuordne, und dann einen Wert nehme, der nur ein ganz klein wenig anders ist als der Erste, wer sagt mir denn, dass das Bild dann auch ähnlich ist? Das könnte ja was völlig anders sein. Stetigkeit aber heisst gerade, dass wenn ich am Urbild nur wenig ändere, ändert sich auch am Bild nur wenig.
@Dgoe
Um die ganze Integral- und Differenzialrechnung wirklich zu verstehen, sollte man zunächst verstehen, dass nur sehr wenige Funktionen stetig oder gar differenzierbar sind. Später hat man dann hoffentlich, wieder wie gewohnt, nur Funktionen die schön glatt sind. Das heisst beliebig oft, zumindest so oft wie benötigt, differenzierbar. Alle konstanten, lineare, quadratische usw. Funktionen, sowie die Exponentialfunktion, die Winkelfunktionen und viele andere gehören natürlich zu diesen beliebig oft differenzierbaren Funktionen. Und auch alle Summen und Produkte daraus.
Um mal eine Funktion zu zeigen, die nirgends stetig ist, nimm die Indikatorfunktion von Q, die jede rationale Zahl die 1 zuordnet und jede irrationale Zahl die 0. Da ist nichts mehr stetig, allerdings ist sie trotzdem noch integrierbar. Aber das führt nun wirklich zu weit.
mit freundlichen Grüssen
pane
ralfkannenberg
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Hallo pane,
ich wollte nicht gleich mit der Wahrheit ins Haus fallen
Wobei die stückweise-Stetigkeit für Riemann-Integrale, also die mit Ober- und Untersummen, ausreichend ist.
Sehr schön zusammengefasst.
Im oben von mir genannten Link zu den Integralen klappt das aber nicht, da ich nur die "normalen" Integrale, die man in der Schule oder im Grundstudium (bis Vordiplom) lernt, beschreibe. Das sind eben gerade diese "Riemann-Integrale".
Dadurch, dass die rationale Zahlen in den reellen Zahlen nur eine Nullmenge bilden ist es aber unschön, denen bei der Integral-Bildung einen so hohen Stellenwert zuzugestehen; solche Fragestellungen werden dann "zweckmässiger" mit den Lebesgue-Integralen behandelt.
An alle Laien: Hände weg, auch die Lebesgue-Integrale haben einen wesentlichen Einfluss auf die Durchfallraten in den Prüfungen. Zum Glück konnte ich meine Note dank meiner guten Algebra-Kenntnisse kompensieren, wobei mir auch äusserst hilfreich zugute kam, dass ich die Differentialgeometrie, bei der bei mir Hopfen und Malz verloren war, ohne Sinn und Verstand brute force auswendig gelernt habe und der Prof. das - im Gegensatz zu manch anderem - mit einer ausreichenden Note honoriert hat.
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
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Hallo Dgoe,@Ralf,
hier fehlt noch ein Delta am Anfang!
ja natürlich, danke schön. Mir persönlich ware es natürlich lieber gewesen, auf diese Δ ganz zu verzichten, d.h. das V von vornherein als Volumendifferenz zu definieren, andererseits mag es didaktisch als einfacher empfunden werden, mit den Δ zu argumentieren, weil man dann fast schon zwanglos zu den differenziellen Ausdrücken kommt, indem man einfach die Δ durch "d/dt" ersetzt.
Mir persönlich sagt es mehr zu, erst alles umzuformen und danach den Differentialoperator anzuwenden, die Physiker indes ziehen es meist aus Gründen der besseren Anschaulichkeit vor, erst den Differentialoperator anzuwenden, die Situation also lokal zu begutachten und danach dann umzuformen und bei Bedarf wieder zu integrieren. Uns Mathematikern kommt dann eigentlich nur die Aufgabe zu, nachzuweisen, unter welchen Umständen man das so handhaben darf.
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
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Hallo Dgoe,
hier geht es nun weiter. Es gibt da zwar noch einen Fallstrick, weil wir noch m und Δm haben, aber den hat uns "Ich" sehr schön erklärt:
Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt bearbeitet:
ralfkannenberg
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Also ich bin mir fast sicher, dass das auch falsch ist und korrekterweise so lauten sollte:
W = ΔE = Δm c²
Freundliche Grüsse, Ralf
Dgoe
Gesperrt
Von:
W = -p * ΔV
bzw. (Bernhard):
d/dt( W ) = -p d/dt( V ) [W = mc² und V = a³]
d/dt(mc²) = -p d/dt(a³)
bzw. (Ralf) [ρ = Δm/ΔV <=> ΔV = Δm/ρ]:
mc² = -p * Δm/ρ
zu:
(d/dt)*(ρa³) = - (p/c²)*(d/dt)*(a³)
bzw. (Ich):
d(ρa³) = - (p/c²)*d(a³) [mit *dt gekürzt]
Wobei
ρ*V = m = E/c²
also
ρ = m/V
und
E = mc²
Masse m, Dichte ρ =gr. Rho, nicht p, denn p ist Druck (lat. pressura), Volumen V, Energie E, Arbeit W (Eselsbrücke engl. Work), LG=Lichtgeschwindigkeit c
So,
nächster Schritt wäre rumrechnen. Ich bin aber gerade schon froh um diese Fleißarbeit der Zusammenstellung alleine schon, will die selber mal wirken lassen. Ich benutze nur den onboard editor direkt für alles (und habe nix weiteres woanders gelesen mehr).
Ausserdem gibt es auch noch eine Anomalie in meinen Augen und ein Verständnisproblem. Aber der Reihe nach.
Empfundene Anomalie
Klein d mal unbeachtet. Da hackt's auf jeden Fall schon mit dem Reim draus machen, was sich sicher erklären lässt, oder gar schon erklärt wurde, nur da bin ich da dann mal pedantisch. In der Hoffnung dazuzulernen.
Das nächste war
Verständnisproblem
Zu guter letzt für heute noch ein Mehrwert:
Rho, das griechische R, sieht halt aus wie ein P im allgemeinen, klein wie groß. Genauso wie in der kyrillischen Schrift (Russisch, Bulgarisch, etc), welche großen Einfluss von der griechischen Schrift hatte. Dem R fehlt der Strich unten rechts. Das kyrillische P wiederum sieht aus, wie ein aufrecht stehendes Rechteck ohne den unteren Strich.
Die kyrillische Schrift wurde von nur 2 Menschen entworfen, einem Herrn aus dem ehemaligen Jugoslawien (Herr Kyrill) und einem Bulgaren (Herr Method). Beide halt nördlich von Griechenland.
Sofern richtig in Erinnerung, letzter Abschnitt.
Gruß,
Dgoe
W = -p * ΔV
bzw. (Bernhard):
d/dt( W ) = -p d/dt( V ) [W = mc² und V = a³]
d/dt(mc²) = -p d/dt(a³)
bzw. (Ralf) [ρ = Δm/ΔV <=> ΔV = Δm/ρ]:
mc² = -p * Δm/ρ
zu:
(d/dt)*(ρa³) = - (p/c²)*(d/dt)*(a³)
bzw. (Ich):
d(ρa³) = - (p/c²)*d(a³) [mit *dt gekürzt]
Wobei
ρ*V = m = E/c²
also
ρ = m/V
und
E = mc²
Masse m, Dichte ρ =gr. Rho, nicht p, denn p ist Druck (lat. pressura), Volumen V, Energie E, Arbeit W (Eselsbrücke engl. Work), LG=Lichtgeschwindigkeit c
So,
nächster Schritt wäre rumrechnen. Ich bin aber gerade schon froh um diese Fleißarbeit der Zusammenstellung alleine schon, will die selber mal wirken lassen. Ich benutze nur den onboard editor direkt für alles (und habe nix weiteres woanders gelesen mehr).
Ausserdem gibt es auch noch eine Anomalie in meinen Augen und ein Verständnisproblem. Aber der Reihe nach.
Empfundene Anomalie
Aus Bernhards W=mc^2 und Einsteins E=mc^2 schließe ich W=E, was ja iwie ungleich W=ΔE ist.
Klein d mal unbeachtet. Da hackt's auf jeden Fall schon mit dem Reim draus machen, was sich sicher erklären lässt, oder gar schon erklärt wurde, nur da bin ich da dann mal pedantisch. In der Hoffnung dazuzulernen.
Das nächste war
Verständnisproblem
Das meinte ich auf Anhieb intuitiv verstanden zu haben, aber genauer betrachtet fehlt mir der Schlüssel dann doch. Wieso wird der Druck negativ, wegen der Differenz etwa? Wie das korreliert, verstehe ich noch nicht. Betragsmäßig sieht's logischer aus. Negativer Druck? ALSO Sog!
Zu guter letzt für heute noch ein Mehrwert:
Rho, das griechische R, sieht halt aus wie ein P im allgemeinen, klein wie groß. Genauso wie in der kyrillischen Schrift (Russisch, Bulgarisch, etc), welche großen Einfluss von der griechischen Schrift hatte. Dem R fehlt der Strich unten rechts. Das kyrillische P wiederum sieht aus, wie ein aufrecht stehendes Rechteck ohne den unteren Strich.
Die kyrillische Schrift wurde von nur 2 Menschen entworfen, einem Herrn aus dem ehemaligen Jugoslawien (Herr Kyrill) und einem Bulgaren (Herr Method). Beide halt nördlich von Griechenland.
Sofern richtig in Erinnerung, letzter Abschnitt.
Gruß,
Dgoe
Zuletzt bearbeitet:
ralfkannenberg
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Immerhin waren die beiden Herren Geschwister und sind in der orthodoxen Kirche auch beide heiliggesprochen. - Allerdings ist umstritten, dass das kyrillische Alphabet wirklich von ihnen eingeführt wurde.
Freundliche Grüsse, Ralf
Ja, das ist genau das, was Ralf auch gerade eben bemängelt hat. Ich hab auch schon mit mir gerungen, ob ich's reklamieren soll, wollte aber kein Korinthenkacker sein. Wäre aber offensichtlich besser gewesen. Hast also Recht, das stimmt so nicht.
Das ist so eine Konventionsfrage, und wenn du mich fragst, hast du hier prompt den nächsten wunden Punkt aufgedeckt. Ich würde ja die Arbeit angeben, die vom Gas geleistet wurde. Wenn die positiv ist, fehlt sie hinterher im Gas und steckt dafür in der Umwelt, an der die Arbeit geleistet wurde. Dann hätten wir W=p*ΔV, und ΔE=-W (sprich: geleistete Arbeit fehlt an der Energie des Gases).
Hier ist es aber andersrum definiert, also Arbeit, die am Gas verrichtet wurde. Wenn du Arbeit am Gas verrichtest (positiver Druck, negatives ΔV), dann steigt dessen Energie, mithin gilt also W=-p*ΔV.
Is alles Wurscht, Hauptsache, man weiß was man tut.
Deswegen wird Physik auch von Physikern gemacht, nicht von Mathematikern.
Es ist vollkommen egal, wo und wann man eleganterweise Differentialoperatoren einbaut. Physikalische Gleichungen haben einen verstehbaren Sinn, und danach richtet sich die Mathematik idealerweise.
In diesem Fall wäre das die Kontigleichung, und die ist dermaßen suggestiv, dass man das nicht mit irgendwelchen Spielereien kaputtmachen sollte: Wenn irgendwo etwas weniger wird, dann ist es entweder einfach verschwunden oder woanders hingegangen.
Hier geht's um die Energie in einem klitzekleinen Stück Raum, das mitsamt seinem Inhalt expandiert. Davis' Membranen also, oder wie das hieß. Da verschwindet Energie nicht einfach. Also muss sie wo hingegangen sein, wenn sie sich ändert. Außerdem ist alles homogen, und es kann deswegen keine Nettomasse (-energie) aus dem Volumen oder ins Volumen wandern. Bleibt nur noch die geleistete Arbeit, da kann die Energie hin. Und das sagt diese Formel.
Ähnlich ist es mit diesen "allermeisten" nichtdifferenzierbaren Funktionen von pane. Mag ja sein, dass in einem Cantorschen Sinne die Menge der nichtdifferenzierbaren Funktionen größer ist als die Menge der differenzierbaren. Es interessiert bloß nicht in der Physik, weil da die Leute eine bestimmte Vorstellung von dem haben, was sie tun. Sie nähern z.B. etwas als Kontinuum, bevor sie einen Differentialoperator draufschmeißen. Und schon hat diese Methode >99,99% Erfolg, und man kann schön differenzieren und alles. Und wenn's mal doch nicht geht, dann war die Näherung wohl falsch und die Therorie, die allses als Kontinuum beschreibt, gleich mit. Das ist dann eine Singularität.
Na also, dann seid ihr ja doch zu was zu gebrauchen.
Dgoe
Gesperrt
Ja? Es ist aus der Not heraus geboren, in jedem Fall, diese Regionen dort bis weiter nördlich und östlich hatten keine Schrift, welche eine zu haben aber angesagt war, für Verwaltung, Wirtschaft und Wettbewerb zu den Nachbarn, die alle schon damit (einer Schrift) versorgt waren. Die Schrift der Nachbarn einfach zu übernehmen, war wie ein Kompetenzverlust, vor allem Hoheits- und Einflussverlust - Gesichtsverlust. Eine eigene Marke musste her.
Ist ja über alles und den kalten Krieg hinweg bis zu ganz heute (Ukrainekonflikt) immer noch so eine Demarkationslinie.
Offtopic Ende. Ontopic an.
Ich hab gerade die Posts gelesen, aber eigentlich wollte ich nur sagen: Jungs! Ich hab es auf mich wirken lassen, darüber gebrütet, und
Nix
Ich steh da wie der Ochs vorm Berg. Vielleich morgen in neuem Licht oder in 10 Jahren. Nö. Ich kann nur einfache Äqivalenzumformungen und so. Ich blick da nichts, ich will auch grad nicht mehr, ich geh ins Bett...
Nathan5111
Registriertes Mitglied
Das nennt man einen 'Schritt in die richtige Richtung'!
Bernhard
Registriertes Mitglied
Das sollten wir uns mal etwas genauer ansehen. Dazu eine Konvention zu den Deltas: Normalerweise gilt ΔX = X_Nachher - X_Vorher. Vergrößert sich beispielsweise ein Volumen gilt ΔV > 0, sonst ΔV <= 0, was man natürlich wissen muss, um nicht im "Dschungel" der Vorzeichen unterzugehen.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Ich,
es ist keine Korinthenkackerei, sondern schon wichtig. Und an sich war ich sogar froh, dass ich das nach dem anderen peinlich Copy/Paste-Fehler von mir wenigstens diesen selber bemerkt habe.
In der Anwendung ist diese Detailltiefe oftmals mühsam und auch in der Mathematik beweist man Dinge meistens erst einmal intuitiv und konstruktiv, also noch ohne Exaktheit; die kommt dann erst, wenn man sich sicher ist, dass der Beweis so funktionieren könnte.
Meistens finden sich dann wirklich noch irgendwelche epsilons, die so noch nicht ganz richtig sind - meist nur ein Indikator, dass man etwas noch nicht ganz richtig verstanden hat, vielleicht hat man auch eine Voraussetzung zu streng gesetzt und kann da was allgemeineres nehmen, ohne den Gehalt der Aussage nennenswert zu veringern usw. usw.
Und ja, wenn es dann hieb- und stichfest nachgewiesen ist, das ist dann schon irgendwie sehr schön.
Wobei dann streng genommen noch zwei Schritte fehlen, nämlich den Beweis mit einem minimalen Set an Voraussetzungen zu führen und ihn so zu führen, dass er didaktisch verständlich ist. Das macht man aber erst nach der ersten grossen Freude über das Gelingen der Beweisführung selber.
Eben, aber das ist manchmal schwieriger als man denkt. Die "kleinen Unstimmigkeiten" sind dann oftmals Geschenke vom Lieben Gott, damit man einen Irrtum zu einem noch frühen Zeitpunkt bemerkt und ohne grossen Zeitverlust korrigieren kann. Statt sich darüber zu nerven kann man sie also auch als "Review" nutzen. Ebenso wie beim Programmieren die meist als lästig empfundenen Compiler-Fehlermeldungen oder vom Design-Tool, die primär den Zweck haben, einen Fehler frühzeitig und somit einfach korrigierbar zu erkennen.
Aber ja - manchmal hat man natürlich genügend Erfahrung und "sieht", wie es richtig geht. So führe ich heutzutage vollständige Induktionen in der Regel auch nicht mehr explizit aus, ich will aber nicht verschweigen, dass ich diese während Jahren pedantisch genau geführt habe.
Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt bearbeitet:
Dgoe
Gesperrt
Guten Morgen,
W=p*(-ΔV)
Welches von beiden negativ ist erkennt man ja sonst nicht mehr.
Ich schau mir gleich nochmal alles an.
Gruß,
Dgoe
Hab ich das?
Achso, dann ist es quasi so zu verstehen:
W=p*(-ΔV)
Welches von beiden negativ ist erkennt man ja sonst nicht mehr.
Ich schau mir gleich nochmal alles an.
Gruß,
Dgoe
Dgoe
Gesperrt
Oh ja, das ist echt wichtig und deswegen nochmal zitiert. Danke.
Was ich meinte, war sowas:
a*(-b) = -a*b
(-a)*b = -a*b
bzw.:
a(-b) = -ab
(-a)b = -ab
An -a*b oder -ab erkennt man nicht mehr, ob a oder b negativ war.
Das Fehlerchen hatte auch ein gute Seite, bot es mir doch die Chance meine Aufmerksamkeit zu bekunden.
Gruß,
Dgoe