Chaos, deterministisches
Der Begriff des (deterministischen) Chaos in der nichtlinearen Dynamik hat
nur wenig mit dem komplexen oder sogar regellosen Durcheinander zu tun,
das er umgangssprachlich bezeichnet.
Vielmehr geht es dabei um Systeme, deren zeitliche Entwicklung mehr oder
weniger einfachen Bewegungsgleichungen folgt (z. B. die vorgestellten
Gleichungen des Pendels oder Lorenzsystems).
Wenn man diese Gleichungen und einen vollständigen Satz von
Anfangsbedingungen (z.B. die Parameter X, Y und Z des Lorenzsystems zur
Zeit t = 0) kennt, kann man durch Integration der Bewegungsgleichungen im
Prinzip die Systementwicklung für alle Zukunft berechnen, d.h. vorhersagen
(oder auch in die Vergangenheit zurückrechnen) - das Systemverhalten ist
determiniert.
Die Anfangsbedingungen lassen sich allerdings nie beliebig genau
bestimmen, ihre Messung unterliegt der Messgenauigkeit der verwendeten
Methode, der auch bei größter Anstrengung letztlich durch die Heisenbergsche Unschärferelation eine
prinzipielle Grenze gesetzt ist. Oft beeinträchtigt dieser Messfehler die Genauigkeit der berechneten
zukünftigen Systementwicklung kaum.
Bei deterministisch-chaotischem Systemverhalten jedoch führt er zu einem im zeitlichen Mittel
exponentiellen Auseinanderlaufen von vorhergesagter und tatsächlicher Trajektorie.
Ebensowenig, wie sich die Anfangsbedingungen beliebig genau messen lassen, gelingt es, mehrere
ansonsten identische chaotische Systeme mit den exakt gleichen Anfangsbedingungen zu präparieren.
Nach Verstreichen einer Zeit, die von den Systemparametern, aber auch von den Anfangsbedingungen
selbst abhängt unterscheiden sich die Zustände der einzelnen Systeme völlig, da die minimalen
Differenzen der Systemparameter mit der Zeit wieder im Mittel exponentiell anwachsen.
Diese Systemeigenschaft nennt man sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Sie ist das
wesentliche Merkmal des determinischen Chaos.
Die Untersuchung des deterministisches Chaos im beschriebenen Sinn ist Gegenstand der nichtlinearen
Dynamik.
Chaos-System
Folgende Eigenschaften eines dynamischen Systems werden i.a. als kennzeichnend angesehen:
1. Der Bereich des Phasenraums, der von den Trajektorien angelaufen wird, ist beschränkt.
2. Die Trajektorien sind nicht periodisch.
3. Ein Attraktor des Systems hat i.a. fraktale Dimension.
4. Das System hängt empfindlich von den Anfangsbedingungen ab. D.h. die Trajektorien zweier beliebig
benachbarter Anfangszustände divergieren nach endlicher Zeit.
Die Divergenzrate kann mithilfe des Ljapunow-Exponenten gemessen werden.