SFF-TWRiker
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Am Samstag um 6 Uhr war Integrity "half way to the moon" bei einer Entfernungsgeschwindigkeit von der Erde von nur etwa 1,5 km/sec.
Artemis II: Experiment aus Jena reist Huckepack in den Erdorbit
- Ersteller astronews.com Redaktion
- Erstellt am
albertus
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Würde ich gern hochladen. Finde nur nichts dazu. Wo finde ich die pdf-upload-Möglichkeit ohne das ich meine PDFs erst irgendwo extern hochladen muss. Ansonsten siehe Beitrag #33, 2.Teil, stark verkürzt. Maiwald / Quantius / Rievers behandeln Quaternionen in "Grundlagen der Orbitalmechanik", ab S. 32 (Hanser 2020).
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albertus
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Koordinatensysteme sind in der Raumfahrt die absolute Basis. Bevor man berechnen kann, wie schnell man fliegt, muss man erst einmal festlegen, wo oben und unten ist.
Die Formel
ist die zentrale Rechenregel, wie man einen Punkt oder einen Geschwindigkeitsvektor im Raum dreht, ohne dabei die berüchtigten Fehler der klassischen Winkelrechnung (den Gimbal Lock) zu riskieren.
Angenommen das Raumschiff (die Orion-Kapsel) schaut gerade genau nach Norden. Jetzt zündet ein Steuerpuffer, und das Schiff dreht sich um 90 Grad.
: Das ist die ursprüngliche Richtung (der "alte" Vektor).
q : ist das Quaternion. Ein digitaler "Dreh-Befehl" mit Information: "Drehe dich um diese Achse um diesen Winkel".
: ist das "Gegen-Quaternion" (das Inverse), damit am Ende wieder ein einfacher Vektor herauskommt.
: ist das Ergebnis – die neue Richtung nach der Drehung.
Einfaches Rechenbeispiel (für Verständnis)
Nehmen wir an, der Sensor zeigt nach vorn auf der x-Achse:
= (1, 0, 0).
Sas Schiff soll sich um 90° um die z-Achse drehen.
1. Das passende Quaternion dafür ist: q = (0,7071; 0; 0; 0,7071), (s. Beitrag #33).
2. Die Rechnung: das Ganze (wie in der Formel oben angeben) multiplizieren.
3. Das Ergebnis:
= (0, 1, 0).
Das bedeutet: Der Sensor zeigt jetzt exakt nach "links" auf der y-Achse. Die Mathematik hat den Vektor sauber im Raum gedreht.
Weshalb macht das Sinn? Wenn ich mich mit (Maiwald, Kap. 3) Koordinatensystemen beschäftige, springe ich ständig zwischen dem erdfesten System (ECEF), dem Inertialsystem (ECI) und dem Schiff-System (Body-Frame) hin- und her.
Die Sternsensoren von Jena-Optronik messen die Sterne im "Schiff-System".
Die Orbitalmechanik (Maiwald, S. 32) rechnet aber im "Inertialsystem".
Die Formel mit dem q ist die Brücke: Sie rechnet die Messdaten des Sensors so um, dass der Computer weiß, wo das Schiff im Vergleich zu den Sternen wirklich steht.
Die Formel
ist die zentrale Rechenregel, wie man einen Punkt oder einen Geschwindigkeitsvektor im Raum dreht, ohne dabei die berüchtigten Fehler der klassischen Winkelrechnung (den Gimbal Lock) zu riskieren.
Angenommen das Raumschiff (die Orion-Kapsel) schaut gerade genau nach Norden. Jetzt zündet ein Steuerpuffer, und das Schiff dreht sich um 90 Grad.
q : ist das Quaternion. Ein digitaler "Dreh-Befehl" mit Information: "Drehe dich um diese Achse um diesen Winkel".
Einfaches Rechenbeispiel (für Verständnis)
Nehmen wir an, der Sensor zeigt nach vorn auf der x-Achse:
Sas Schiff soll sich um 90° um die z-Achse drehen.
1. Das passende Quaternion dafür ist: q = (0,7071; 0; 0; 0,7071), (s. Beitrag #33).
2. Die Rechnung: das Ganze (wie in der Formel oben angeben) multiplizieren.
3. Das Ergebnis:
Das bedeutet: Der Sensor zeigt jetzt exakt nach "links" auf der y-Achse. Die Mathematik hat den Vektor sauber im Raum gedreht.
Weshalb macht das Sinn? Wenn ich mich mit (Maiwald, Kap. 3) Koordinatensystemen beschäftige, springe ich ständig zwischen dem erdfesten System (ECEF), dem Inertialsystem (ECI) und dem Schiff-System (Body-Frame) hin- und her.
Die Sternsensoren von Jena-Optronik messen die Sterne im "Schiff-System".
Die Orbitalmechanik (Maiwald, S. 32) rechnet aber im "Inertialsystem".
Die Formel mit dem q ist die Brücke: Sie rechnet die Messdaten des Sensors so um, dass der Computer weiß, wo das Schiff im Vergleich zu den Sternen wirklich steht.
albertus
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Die Erdgravitation hängt den Raumfahrern halt ganz schön hinten dran. Aber die rund 11 km/s bei Erdbahnverlassen reichen bis zum Mond. In 36.000 km Entfernung vom Mond übernimmt dessen Schwerkraft die Beschleunigung. An diesem Punkt erleben die vier Astronauten echte Schwerelosigkeit (Einfluss von Sonne, Planeten etc. mal nicht berücksichtigt). Sie sind natürlich die gesamte Zeit im freien Fall bei der Reise da draußen. Am Mond wird Orion mit ca. 2,3 km/s ankommen und in einer elliptischen Bahn vorbeiziehen und bis auf 430.000 km von der Erde entfernt sein, wenn es den Umkehrpunkt der Ellipse erreicht. Am Tag der Kosmonauten (12.April) will man westlich der USA wassern. Dann guten Flug und uns schöne Mondnahaufnahmen. Die TV-Bildunterschiede - dank auch heutiger TV-Technik mit 4K-Stream von der Orion - sind was ganz anderes, als die SW-Röhre, in die ich 1969 geschaut habe.
Die gestreckte, elliptische Flugbahn gewährleistet, dass die Solarzellen von Orion auch auf der Mondrückseite die meiste Zeit geladen werden und die Funkverbindung fast die gesamte Zeit stehen wird.
Zuletzt bearbeitet:
ralfkannenberg
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Hallo Astrofreund,
das ist alles richtig, was Du schreibst, dennoch möchte ich dazu eine bzw. einige Ergänzungen anbringen. Insbesondere sind die Quaternionen nicht irgendwelche "Heilsbringer", sondern in der Mehrzahl der Fälle für die Praxis völlig ungeeignet - so ist der Hauptsatz der Algebra, der in den meisten Situation stillschweigend als gültig angenommen wird, für die Quaternionen gar nicht gültig; und die Euler-Winkel verursachen auch keine Singularitäten, sondern die Beschreibung mit Hilfe von Euler-Winkeln kann zu Situationen führen, die man auf diese Weise mathematisch nicht berechnen kann, nennen wir eine solche Situation wie Du es getan hast meinetwegen "mathematische Singularitäten", denn die Mathematik schert sich nicht darum, ob eine Anwednung der Praxis in gewissen Fällen ungeeignet wird.
Man muss also genau genommen immer zuerst überprüfen, ob eine mathematische Beschreibung für die zu beschreibende Situation geeignet ist oder nicht. Manchmal gibt es auch Situationen, in denen eine mathematische Beschreibung zwar exakt richtig ist, aber bei der praktischen Umsetzung solche numerischen Instabilitäten aufweist, dass ein Ergebnis bei computer-unterstützten Anwendungen im Allgemeinen zu Auslöschungseffekten und somit zu unzutreffenden Ergebnisse führt, z.B. bei schleifenden Schnitten zweier fast paralleler Geraden.
Ich will das an einer m.E. einfacher verständlichen "Analogie" erläutern: die Beschreibung einer Geraden als Funktion f(x) = ax+b. Wenn das geht kann man natürlich die gesamte Methodik der Analysis anwenden, man kann das integrieren, Schnittpunkte berechnen u.s.w.
Nun ist es so, dass man senkreche Geraden, also solche parallel zur y-Achse, auf diese Weise nicht beschreiben kann; nehmen wir an, sie schneide die x-Achse im Punkt x', dann ist eine solche Gerade die Menge aller Punkte x=x'. Ein y kommt da nicht mehr vor; würde man es "versuchen", würde die Steigung a der Gleichung f(x) = ax+b den Wert "unendlich" oder "minus unendlich" annehmen, beides ist nicht definiert, und die Variable b - also dort, wo die Gerade die y-Achse schneidet, auch ncht bestimmbar: wenn x'=0, so "schneidet" unsere senkrechte Gerade die y-Achse in jedem Punkt, andernfalls in keinem Punkt.
Natürlich ist eine senkrechte Gerade keine Singularität, aber die Beschreibung von senkrechten Geraden mithilfe von f(x) = ax+b führt zu einer "mathematischen Singularität". Die Gerade selber ist also völlig ok, aber die Beschreibung mithilfe von f(x) = ax+b in diesem Fall nicht geeignet.
Noch eine kleine Ergänzung zu den Quaternionen: warum verletzen diese den Hauptsatz der Algebra ? Nun, man findet ein ganz einfaches Gegenbeispiel: gemäss des Hauptsatzes der Algebra muss die Gleichung x² + 1 = 0 bis auf Vielfachheiten gezählt exakt 2 Lösungen haben; wenn einem die Vielfachheiten hier nicht gefallen kann man auch sagen: maximal 2 Lösungen - das genügt völlig für das Gegenbeispiel. Im Körper der komplexen Zahlen ist das der Fall und die imaginäre Einheit i sowie ihr konjugiert Komplexes -i lösen diese Gleichung. Aber im Schiefkörper der Quaternionen finden wir neben i und -i beispielsweise auch noch j, -j, k und -k als Lösungen dieser Gleichung, und das sind somit mehr als 2 Lösungen.
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
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Hallo zusammen,
das ist natürlich sehr salopp und ungenau formuliert.
Korrekt wäre: jedem x der Gerade wird anhand der für diese Gerade spezifischen Parameter a und b (höchstens) ein f(x) zugeordnet, gemäss der Rechenvorschrift:
f(x) = ax+b
Bei einer senkrechten Geraden, also einer Geraden parallel zur y-Achse, ist es nun aber so, dass jedem x der Geraden viele f(x) zugeordnet werden, nämlich alle Punkte dieser Geraden parallel zur y-Achse. Das Problem ist also nicht die Steigung a vom (wie auch immer zu definierenden) Absolutbetrag "unendlich" oder die komische Situation vom Ordinatenachsenabschnitt b - das sind nur Folgen vom eigentlichen Problem, sondern das Problem ist die nicht eindeutige Zuordnung von x zu höchstens einem f(x).
Und eine solche Situation liegt auch bei den Euler-Winkeln vor:
Bemerkung: fett kursiv hervorgehoben von mir
Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt bearbeitet:
Ok. Danke. Ich habe momentan eigentlich auch zu wenig Zeit, um da tiefer einzusteigen. Es ist auf jeden Fall interessant, dass so etwas nun in der Raumfahrt verwendet wird. Ich kenne die Verbindung zwischen räumlichen Drehungen und den Quaternionen am Rande über diesen Isomorphismus (mit den Pauli-Matrizen).5. Die Lösung: Quaternionen
Ein Quaternion ist eine vierdimensionale Zahl. Der entscheidende Vorteil: Es beschreibt jede Orientierung durch eine einzige Drehung um eine definierte Achse im Raum. Es gibt keine Singularitäten und keine Gimbal-Blockade.
Beispiel: 90°-Drehung um die Z-Achse
Bei einem Manöver um θ = 90° um die Achseergibt sich:)
Halber Winkel: 45°
\approx&space;0,7071)
\approx&space;0,7071)
Resultat:
)
ralfkannenberg
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albertus
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Danke für diese tiefen mathematischen Einblicke! Die Analogie mit der senkrechten Geraden verdeutlicht sehr gut, warum die Wahl der mathematischen Beschreibung (Euler vs. Quaternionen) so entscheidend ist.
Dass Quaternionen den Hauptsatz der Algebra 'sprengen', ist ein faszinierender Aspekt für die reine Mathematik. In der Flugpraxis der Orion-Navigation scheint man diesen 'Schiefkörper' aber genau deshalb so zu schätzen, weil er die von dir beschriebenen Mehrdeutigkeiten der Euler-Winkel (Gimbal Lock) im Computer-Algorithmus elegant umschifft.
Danke für die Präzisierung!
SFF-TWRiker
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Zudem ist ja auch die Flugbahn fast "unterhalb" des Mondes, um die Südpolar-Region möglichst gut untersuchen zu können.
albertus
Registriertes Mitglied
Artemis 2 am Mond-Südpol und der Flug um die Rückseite
Ein ganz wichtiger Hinweis zur aktuellen Flugbahn: Dass die Orion Integrity den Mond fast „unterhalb“ passiert, ist kein Zufall. Diese Bahn wurde gezielt gewählt, um die strategisch wichtige Südpolar-Region bestmöglich untersuchen zu können.
Hier vermutet man in den dauerhaft schattigen Kratern (wie dem Shackleton-Krater) wertvolles Wassereis – die lebensnotwendige Ressource für künftige Mondstationen oder gar Mars-Missionen. Wir dürfen uns also sicher über völlig neue, hochauflösende Fotos und Videos freuen, die bald die Fachzeitschriften in Hochglanz und A3-Format füllen werden.
Aktueller Stand laut Pressemitteilung (Raumfahrer.net): Heute, Montag, den 6. April, um 06:41 Uhr MESZ ist die Orion-Kapsel offiziell in den Gravitations-Einflussbereich des Mondes eingetreten. Das bedeutet: Die Erde hat ihr „Tauziehen“ verloren, und der Mond übernimmt nun die Beschleunigung.
Das Hauptereignis des heutigen Tages ist der Flug der Besatzung um die Rückseite des Mondes. Dabei wird es – genau wie damals bei Apollo 8 – zu einem zeitweiligen Funkabbruch (Blackout) kommen, während die Kapsel im Funkschatten des Mondes manövriert.
Es ist ein bemerkenswertes Gefühl: Auch wenn wir heute 4K-Streams und modernste Telemetrie haben, bleibt die Anspannung in diesen Minuten der Funkstille exakt dieselbe wie 1968. Sobald das Signal auf der anderen Seite wieder auftaucht, wissen wir, dass die Crew auf dem sicheren Weg Richtung Heimat ist.
Ich bin gespannt auf die ersten Bestätigungen und natürlich auf den Moment, wenn der „Earthrise“ wieder in moderner Bildqualität über den Monthorizont steigt.
Ein ganz wichtiger Hinweis zur aktuellen Flugbahn: Dass die Orion Integrity den Mond fast „unterhalb“ passiert, ist kein Zufall. Diese Bahn wurde gezielt gewählt, um die strategisch wichtige Südpolar-Region bestmöglich untersuchen zu können.
Hier vermutet man in den dauerhaft schattigen Kratern (wie dem Shackleton-Krater) wertvolles Wassereis – die lebensnotwendige Ressource für künftige Mondstationen oder gar Mars-Missionen. Wir dürfen uns also sicher über völlig neue, hochauflösende Fotos und Videos freuen, die bald die Fachzeitschriften in Hochglanz und A3-Format füllen werden.
Aktueller Stand laut Pressemitteilung (Raumfahrer.net): Heute, Montag, den 6. April, um 06:41 Uhr MESZ ist die Orion-Kapsel offiziell in den Gravitations-Einflussbereich des Mondes eingetreten. Das bedeutet: Die Erde hat ihr „Tauziehen“ verloren, und der Mond übernimmt nun die Beschleunigung.
Das Hauptereignis des heutigen Tages ist der Flug der Besatzung um die Rückseite des Mondes. Dabei wird es – genau wie damals bei Apollo 8 – zu einem zeitweiligen Funkabbruch (Blackout) kommen, während die Kapsel im Funkschatten des Mondes manövriert.
Es ist ein bemerkenswertes Gefühl: Auch wenn wir heute 4K-Streams und modernste Telemetrie haben, bleibt die Anspannung in diesen Minuten der Funkstille exakt dieselbe wie 1968. Sobald das Signal auf der anderen Seite wieder auftaucht, wissen wir, dass die Crew auf dem sicheren Weg Richtung Heimat ist.
Ich bin gespannt auf die ersten Bestätigungen und natürlich auf den Moment, wenn der „Earthrise“ wieder in moderner Bildqualität über den Monthorizont steigt.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,Quaternionen - Mathepedia
mathepedia.de
hier ist noch ein Link zu den Quaternionen und den Drehungen:
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
ich bin mir nicht sicher, aber ich bin gar nicht überzeugt, dass das Ganze irgendetwas mit den Quaternionen zu tun hat und nicht eher damit, dass die sogenannte (und nota bene endliche) Quaternionengruppe, also {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k; bezüglich *), isomorph zur Z2 X Z2 X Z2 X Z2 ist.
Freundliche Grüsse, Ralf
Jakito
Registriertes Mitglied
Ist das ein Test? Die Quaternionengruppe ist nicht-abelsch, wohingegen Z2 X Z2 X Z2 X Z2 abelsch ist.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Verdammte Sch... - Du hast völlig recht !! Wie konnte ich so einen Schrott schreiben - ich hatte schon ein schlechtes Gefühl, als ich das niedergeschrieben hatte.
Hallo Jakito,
danke für Deine Korrektur und sorry für diesen Blödsinn, den ich während einer Kaffeepause rausgelassen habe.
Freundliche Grüsse, Ralf
Ein Teil davon stimmt: {1, -1} ist mit * isomorph zu Z2
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Äh ja ... - danke für die Bestätigung des trivialen Teils ........
Hallo zusammen, (ich hoffe, ich schreibe nicht wieder einen Schrott - meine Algebra-Zeiten liegen nun auch schon 38 Jahre zurück)
interessant dürften auch noch die Untergruppen (i,-1,-i,1; *) sowie isomorph dazu (j,-1,-j,1; *) und (k,-1,-k,1; *); diese sind isomorph zur Z4 und die Z4 wiederum ist isomorph zur Gruppe der Drehungen um 90°, also (90°, 180°, -90°, 0°; Aneinanderketten).
Und irgendwie habe ich das Gefühl, dass diese 4 Gruppen solche Drehungen beschreiben, alle isomorph zueinander, einfach um verschiedene Koordinaten-Achsen, und dass das der Grund dafür ist, dass man die Quaternionengruppe für diese Drehungen im IR³ nutzen kann.
Bernhards Gruppe (-1,1) ist übrigens die Untergruppe (180°,0°; Aneinanderketten).
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
irgendeine AI hat mir da noch im Internet ein konkretes einfaches Beispiel genannt, welches ich nun ohne jeglichen Sinn und Verstand mit Euch teilen möchte:
Konkretes Beispiel: 90° Drehung um die Z-Achse
1. Ziel:
Den Punkt P = (1,0,0) um θ = 90° (d.h. π/2) um die Z-Achse λ*(0,0,1) zu drehen
2. Dreh-Quaternion Q erstellen:
1. Winkel halbiert: θ/2 = 90°/2 = 45° <--- ????
2. ω = cos(45°) = 1/√2
3. x = 0 * sin(45°) = 0 (Achse x-Anteil)
4. y = 0 * sin(45°) = 0 (Achse y-Anteil)
5. z = 1 * sin(45°) = 1/√2 (Achse z-Anteil)
6. Q = 1/√2 + 0*i + 0*j + (1/√2)*k oder kompakter Q = (1/√2, 0, 0, 1/√2)
3. Punkt als Quaternion (P) darstellen:
1. P = (0,1,0,0); Skalarteil 0, Vektorteil x=1, y=0, z=0
4. Drehung berechnen (P' = Q*P*Q^(-1) ):
1. Die konjugierte Quaternion Q^(-1) ist: (1/√2, 0, 0, - 1/√2)
2. Nach Berechnung (Q*P*Q^(-1) ) ergibt sich die neue Punkt-Quaternion P' = (0,0,1,0)
5. Ergebnis:
Der Punkt ist nun bei (0,1,0) - er wurde korrekt um 90° von der x- zur y-Achse gedreht.
Freundliche Grüsse, Ralf
P.S. Diejenigen unter Euch, dies sich cos(45°) = (1/2)*√2 gewohnt sind: man kann diese beiden Gleichungen durch Erweitern der ersten mit √2/√2 überführen.
irgendeine AI hat mir da noch im Internet ein konkretes einfaches Beispiel genannt, welches ich nun ohne jeglichen Sinn und Verstand mit Euch teilen möchte:
Konkretes Beispiel: 90° Drehung um die Z-Achse
1. Ziel:
Den Punkt P = (1,0,0) um θ = 90° (d.h. π/2) um die Z-Achse λ*(0,0,1) zu drehen
2. Dreh-Quaternion Q erstellen:
1. Winkel halbiert: θ/2 = 90°/2 = 45° <--- ????
2. ω = cos(45°) = 1/√2
3. x = 0 * sin(45°) = 0 (Achse x-Anteil)
4. y = 0 * sin(45°) = 0 (Achse y-Anteil)
5. z = 1 * sin(45°) = 1/√2 (Achse z-Anteil)
6. Q = 1/√2 + 0*i + 0*j + (1/√2)*k oder kompakter Q = (1/√2, 0, 0, 1/√2)
3. Punkt als Quaternion (P) darstellen:
1. P = (0,1,0,0); Skalarteil 0, Vektorteil x=1, y=0, z=0
4. Drehung berechnen (P' = Q*P*Q^(-1) ):
1. Die konjugierte Quaternion Q^(-1) ist: (1/√2, 0, 0, - 1/√2)
2. Nach Berechnung (Q*P*Q^(-1) ) ergibt sich die neue Punkt-Quaternion P' = (0,0,1,0)
5. Ergebnis:
Der Punkt ist nun bei (0,1,0) - er wurde korrekt um 90° von der x- zur y-Achse gedreht.
Freundliche Grüsse, Ralf
P.S. Diejenigen unter Euch, dies sich cos(45°) = (1/2)*√2 gewohnt sind: man kann diese beiden Gleichungen durch Erweitern der ersten mit √2/√2 überführen.
ralfkannenberg
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Hallo zusammen,
soeben sehe ich, dass der Astrofreund diese Rechnung auch schon in Kurzform präsentiert hat:
Artemis II: Experiment aus Jena reist Huckepack in den Erdorbit
Am Samstag um 6 Uhr war Integrity "half way to the moon" bei einer Entfernungsgeschwindigkeit von der Erde von nur etwa 1,5 km/sec.
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Freundliche Grüsse, Ralf
albertus
Registriertes Mitglied
In Beitrag #43 hat das Albertus auch schon getan.
