65 Jahre bemannte Raumfahrt: Die Evolution der orbitalen Mechanik

[Jakito]

Wenn du das in Formeln fassen könntest wäre mir sehr geholfen.

Ich kann es versuchen:
q=(cos |θ|, sin |θ| θ/θ)
Für |θ|=mπ ist sin |θ|=0, deshalb haben alle Änderungen an θ die nur θ/θ verändern ohne |θ| zu ändern keinen Einfluss auf q.

Was ist daran Bitteschön singulär?

Das ist mein Punkt, dass Du Dir überlegen solltest, wie man für eine "Überlagerung" definieren könnte, was es heißt, singulär zu sein.

 

[TomS]

Ich kann es versuchen:
q=(cos |θ|, sin |θ| θ/θ)

Ja.

Siehe jedoch oben: das ist eine Singularität der Koordinatenwahl, nicht der Gruppe oder einer Überlagerung. Und es zwingt dich niemand, diesen Winkel theta einzuführen.

 

[Jakito]

Und es zwingt dich niemand, diesen Winkel theta einzuführen.

???
Du hast diesen Winkel theta doch mit Deiner adjungierten Darstellung eingeführt:

das ist eine Singularität der Koordinatenwahl, nicht der Gruppe oder einer Überlagerung.

Wenn diese Darstellung wirklich keine Singularitäten hätte, dann wäre es doch eine Überlagerung des 3-dimensionalen Raums auf SU(2) und SO(3). Und da der 3-dimensionale Raum einfach zusammenhängend ist, wäre es sogar eine universelle Überlagerung. Warum das nicht sein kann, kannst Du Dir vermutlich selbst denken.

 

[albertus]

irgendwie kann ich mir das Ganze immer noch nicht so richtig vorstellen: zum einen führt so ein zusätzlicher Freiheitsgrad zu unendlich vielen Lösungen. Zum anderen: betrachten wir so einen Einheitsvektor - auch der wird von einem endlichen Speicherraum ausgehend nicht exakt berechnet, obgleich er die Länge 1 aufweist. Der zeigt dann einfach ein bisschen in eine andere Richtung.

Wiegt man sich mit der Normierung nicht einfach nur in einer trügerischen Sicherheit ? - Die Erfahrung zeigt, dass dem nicht so ist, aber was genau sorgt für die Stabilität bzw. für das robuste Ergebnis ?

1. Das Missverständnis mit dem „Zusätzlichen Freiheitsgrad“​

Ralf hat recht: Ein Satellit hat nur 3 Freiheitsgrade der Drehung. Wenn wir 4 Zahlen nutzen, gäbe es theoretisch unendlich viele Möglichkeiten, die Lage darzustellen – außer, wir führen die Zwangsbedingung ein.

• Die Normierung
  
  sorgt dafür, dass aus den 4 Zahlen mathematisch wieder genau 3 unabhängige Informationen werden.
• Man kann es sich wie eine Perle auf einer Schnur vorstellen: Die Perle kann sich im Raum bewegen, aber die Schnur (die Bedingung) zwingt sie auf einen festen Pfad. Es gibt also nicht unendlich viele Lösungen, sondern immer nur genau eine gültige auf der „Oberfläche“ dieser 4D-Kugel.

2. Die „Trügerische Sicherheit“ (Numerik)​

Ralf fragt, ob der Rundungsfehler im Speicher nicht trotzdem alles kaputt macht. Hier liegt der Clou der Quaternionen:

• Euler-Winkel: Wenn man hier einen Rundungsfehler nahe
  
  hat, explodieren die Werte, weil man durch fast Null teilt. Ein winziger Fehler führt zu einem riesigen Sprung in der Berechnung.
• Quaternionen: Ein Rundungsfehler führt hier nur dazu, dass die Länge des Vektors vielleicht 1,000001 statt 1,000000 ist.
• Die Robustheit: Der Bordcomputer macht einfach nach jeder Rechnung eine kurze „Korrektur“ (Normierung): Er teilt das Ergebnis durch seine eigene Länge. Damit „zieht“ er den Zustand immer wieder zurück auf die ideale Einheitskugel. Das ist mathematisch extrem stabil und verhindert, dass Fehler aufsummiert werden.

3. Was genau sorgt für die Stabilität?​

Es ist die Linearität.

In den Euler-Gleichungen stecken Sinus- und Cosinus-Funktionen, die „verbogen“ sind. Die Quaternionen-Kinematik (wie du sie bei Flux auf S. 119 findest) ist linear. Das bedeutet: Eine kleine Änderung der Eingabe führt immer nur zu einer kleinen Änderung der Ausgabe. Es gibt keine „Sprünge“ oder „Schluckaufe“ in der Mathematik.

Zusammengefasst:

Die Sicherheit ist nicht trügerisch, sondern mechanisch eingebaut. Die Normierung ist wie eine Leitplanke: Selbst wenn der Rechner mal leicht „schlingert“ (Rundungsfehler), sorgt die Division durch die Norm dafür, dass er sofort wieder perfekt in der Spur ist. Bei Euler-Winkeln gibt es diese Leitplanke an den Singularitäten schlichtweg nicht – da stürzt man über die Klippe.

Quellenangaben:

Flux, Jamie (2024). Mathematics for Rocket Science: A Comprehensive Guide to Astronautics and Spaceflight. Independently published. (Vgl. Chapter 22: Quaternions in Spaceflight, S. 119 ff.).

Das Handbuch der Raumfahrttechnik (Ley, Hallmann, Wittmann) ist natürlich die absolute Krönung. Dort im Kapitel 4.5.3.4 sieht man, das genau diese numerische Robustheit als Grund für den Einsatz in echten Satellitenmissionen genannt wird.

 

[TomS]

???
Du hast diesen Winkel theta doch mit Deiner adjungierten Darstellung eingeführt:

Aber ich habe nicht normiert.

Wenn diese Darstellung wirklich keine Singularitäten hätte, dann wäre es doch eine Überlagerung des 3-dimensionalen Raums auf SU(2) und SO(3). Und da der 3-dimensionale Raum einfach zusammenhängend ist, wäre es sogar eine universelle Überlagerung. Warum das nicht sein kann, kannst Du Dir vermutlich selbst denken.

Dies ist erst mal die Fundamentaldarstellung der SU(2), nicht der SO(3), damit können Probleme der SO(3) hier keine Rolle spielen. Und nochmal, eine Singularität hat keine dieser Gruppen; das ist höchstens ein Problem der Koordinaten, hier wohl speziell der Normierung.

Im letzten längeren Beitrag habe ich überhaut keine Koordinaten eingeführt. Und die Lösung der DGL zeigt, dass man im Zuge der auf die Lie-Gruppe angepasste RK4 ohne solche auskommt.

Ich kann mir schon vorstellen, dass es Probleme gibt, die ich nicht sehe. Aber dazu müsste die problematische Formel erst mal dastehen.

 

[TomS]

@albertus -

Gut, wir haben also eine lineare DGL in q und omega; und man kann für q und omega unproblematische Darstellungen wählen.

Damit verstehe ich nicht, was überhaupt noch das Problem sein sollte (außer den problematischen Darstellungen mittels Euler-Winkeln, Rodriguez-Formel usw., aber das haben wir ja hinter uns gelassen.)

Den vierten Freiheitsgrad benutzt man auch nicht wirklich, man schiebt nur nach jedem Integrationsschritt (siehe mein Beitrag oben) eine Normierung ein; das muss man wg. Numerik immer machen.

Möchte man Winkel betrachten, extrahiert man diese aus q je nach Konvention (Euler, Rodriguez ...), verwendet sie aber nie im Zuge der Integration.

 

[Jakito]

Aber ich habe nicht normiert.

Aber dazu müsste die problematische Formel erst mal dastehen.

Ich vermute, Dir ist nicht klar, dass

und
q=(cos |θ|, sin |θ| θ/θ)
im Wesentlichen die gleiche Formel sind. Es ist halt die explizit ausgerechnete Form der Formel für SU(2), in der am einfachsten hinschreibbaren Form.

 

[albertus]

???
Du hast diesen Winkel theta doch mit Deiner adjungierten Darstellung eingeführt:

Wenn diese Darstellung wirklich keine Singularitäten hätte, dann wäre es doch eine Überlagerung des 3-dimensionalen Raums auf SU(2) und SO(3). Und da der 3-dimensionale Raum einfach zusammenhängend ist, wäre es sogar eine universelle Überlagerung. Warum das nicht sein kann, kannst Du Dir vermutlich selbst denken.

Hallo zusammen, die Debatte um die SO(3) und deren Überlagerung durch die SU(2) ist mathematisch faszinierend, aber ich möchte den Blick kurz zurück auf die Bordcomputer-Realität lenken, wie sie auch im „Handbuch der Raumfahrttechnik“ (Kap. 4.5.3.4) beschrieben wird.

TomS, dein Punkt zu den Lie-Gruppen-Integratoren (wie Munthe-Kaas) ist theoretisch brillant. Diese Methoden erhalten die Symmetrie und vermeiden Singularitäten durch das Arbeiten in der Algebra. Aber in der Raumfahrtpraxis – und da zitiere ich gerne wieder Wertz (1978) – gibt es einen entscheidenden Grund, warum wir trotzdem fast immer bei den Quaternionen (4 Parameter) landen:

1. Rechenaufwand: Ein RK-Munthe-Kaas-Integrator muss bei jedem Schritt die Exponentialabbildung (oder deren Approximation) berechnen. Auf einem strahlungsgehärteten Prozessor, der oft mit Taktraten arbeitet, über die ein moderner PC-Nutzer nur lächeln würde, ist das purer Luxus. Quaternionen-Kinematik kommt mit einfachen Multiplikationen und Additionen aus.
2. Die topologische Falle: Jakito hat völlig recht. Es ist ein bekanntes Theorem (nachgewiesen u.a. durch Stuelpnagel, 1964), dass es keine globale, 1-zu-1-Parametrisierung der SO(3) mit nur 3 Parametern geben kann. Irgendwo muss die Abbildung „reißen“. TomS, wenn du sagst, man könne auf problematische Koordinaten verzichten, dann erkaufst du dir das durch eine deutlich höhere Komplexität in der Berechnung der Gruppenoperationen.

In der Praxis ist die Quaternionen-Darstellung genau deshalb der Standard: Sie ist eine globale Parametrisierung, die die Redundanz (der 4. Parameter) nutzt, um die Gleichungen linear und singularitätsfrei zu halten. Die Normierung ist dabei kein „trügerischer Workaround“, sondern eine numerisch hocheffiziente Methode, um den Zustand mit minimalem Rechenaufwand stabil auf der Einheitskugel zu halten.

Oder kurz gesagt: Warum mathematisch extrem komplexe Lie-Integratoren programmieren, wenn das Quaternion das Problem der Singularität durch eine einfache vierte Komponente elegant und „billig“ löst?

 

[TomS]

Ich vermute, Dir ist nicht klar, dass

und
q=(cos |θ|, sin |θ| θ/θ)
im Wesentlichen die gleiche Formel sind. Es ist halt die explizit ausgerechnete Form der Formel für SU(2), in der am einfachsten hinschreibbaren Form.

Siehe oben:

Also ich habe zu effektive Feldtheorien mit nicht-linearen Sigma-Modellen gearbeitet, in denen exakt diese Ausdrücke auftreten – außer dass theta und omega Felder von x und t sind.

Der Teufel steckt in dem "im Wesentlichen". Deine Darstellung für q führt eine Koordinatensingularität ein, die in U nicht enthalten ist.

Es wäre sinnvoll, das alles in der SO(N) oder SU(N) zu betrachten, da gibt es nämlich diese speziellen Darstellungen gar nicht. Die von mir oben skizzierte Methode funktioniert aber immer noch.

 

[albertus]

Hallo TomS, es freut mich, dass wir uns beim praktischen Goldstandard (Wertz/Handbuch) einig sind. Deine Ausführungen zu den nicht-linearen Sigma-Modellen und der

gehen weit über das hinaus, was ich in der Standardliteratur zur Lageregelung finde. Vielleicht solltest du deine Methode der Lie-Algebren-Integration mal beim DLR oder der ESA vorstellen – wenn das die Recheneffizienz der aktuellen Quaternionen-Systeme schlägt, hättest du dort sicher einen Stein im Brett! Für mein monumentales Verständnis bleibe ich aber erst einmal bei der 'bodenständigen' Mathematik von Jamie Flux.

 

[TomS]

TomS, dein Punkt zu den Lie-Gruppen-Integratoren (wie Munthe-Kaas) ist theoretisch brillant. Diese Methoden erhalten die Symmetrie und vermeiden Singularitäten durch das Arbeiten in der Algebra.

Danke. Aber der Dank gehört RKMK

1. Rechenaufwand: Ein RK-Munthe-Kaas-Integrator muss bei jedem Schritt die Exponentialabbildung (oder deren Approximation) berechnen. Auf einem strahlungsgehärteten Prozessor, der oft mit Taktraten arbeitet, über die ein moderner PC-Nutzer nur lächeln würde, ist das purer Luxus. Quaternionen-Kinematik kommt mit einfachen Multiplikationen und Additionen aus.

Ich habe in den Neunzigern die Quantenfeldtheorien zu nicht-linearen Sigma-Algebren auf irgendeiner DEC VAX gerechnet, also könnte das schon gehen …

Aber du hast natürlich recht, es ist evtl. Luxus, insbs. weil man evtl. keine Stabdard-Lib. für den jeweiligen Rechner / die jeweilige Programmiersprache findet.

1. Die topologische Falle: Jakito hat völlig recht. Es ist ein bekanntes Theorem (nachgewiesen u.a. durch Stuelpnagel, 1964), dass es keine globale, 1-zu-1-Parametrisierung der SO(3) mit nur 3 Parametern geben kann.

Ok.

Aber die 2*2-Matrizen zur Rotation der Quaternionen q sind keine SO(3) sondern SU(2) Matrizen.

Die Probleme der SO(3) wird man sicher nur ganz los, aber ich glaube nach wie vor, dass es einige intrinsische gibt, und einige die "nur" der ungeschickten Parametrisierung geschuldet sind.

1. TomS, wenn du sagst, man könne auf problematische Koordinaten verzichten, dann erkaufst du dir das durch eine deutlich höhere Komplexität in der Berechnung der Gruppenoperationen.

Sicher. Das ist das "no-free-lunch" theorem

In der Praxis ist die Quaternionen-Darstellung genau deshalb der Standard: Sie ist eine globale Parametrisierung, die die Redundanz (der 4. Parameter) nutzt, um die Gleichungen linear und singularitätsfrei zu halten. Die Normierung ist dabei kein „trügerischer Workaround“, sondern eine numerisch hocheffiziente Methode, um den Zustand mit minimalem Rechenaufwand stabil auf der Einheitskugel zu halten.

Ich glaube übrigens, dass wir in vielen Dingen vom selben reden. Ob man eine Größe als su(2), SU(2) oder Quaternion aufasst, ist teilweise Geschmacksache. Wichtig, ist dass man von den 3-er Vektoren, 3*3-Matrizen und insbs. den Eulerwinkeln wegkommt.

 

[TomS]

???
Du hast diesen Winkel theta doch mit Deiner adjungierten Darstellung eingeführt:

Aber ich habe nicht durch den Betrag von theta dividiert, dazu zwingt dich niemand!

Dadurch erhältst du ein zusätzliches Problem. Das U ist aber aus der SU(2), nicht aus der SO(3), also treffen viele Probleme der SO(3) erst mal nicht zu.

 

[Jakito]

Aber ich habe nicht durch den Betrag von theta dividiert, dazu zwingt dich niemand!

Ah, vielleich habe ich das Mißverständnis gefunden:

q=(cos |θ|, sin |θ| θ/θ)

Da war eine Art Tippfehler, eigentlich wollte ich
q=(cos |θ|, sin |θ| θ/|θ|)
schreiben. Das ändert jetzt zunächst natürlich auch nicht viel, aber wenn ich dies mittels der Sinc-Funktion

schreibe, dann wird klar, dass ich gar nicht durch den Betrag von theta dividiert habe:
q=(cos |θ|, si |θ| θ)

 

[albertus]

Ich glaube übrigens, dass wir in vielen Dingen vom selben reden. Ob man eine Größe als su(2), SU(2) oder Quaternion aufasst, ist teilweise Geschmacksache. Wichtig, ist dass man von den 3-er Vektoren, 3*3-Matrizen und insbs. den Eulerwinkeln wegkommt.

Hallo TomS, vielen Dank für die Blumen! Es freut mich sehr, dass wir hier einen gemeinsamen Nenner gefunden haben. Dass du in den Neunzigern auf einer VAX gerechnet hast, erklärt natürlich deine Leidenschaft für die tiefe Mathematik dahinter – das waren noch Zeiten, in denen man jedes Byte persönlich per Handschlag begrüßt hat.

Ich denke, dein Fazit trifft den Nagel auf den Kopf: Ob man es nun als SU(2) oder als Quaternionen auffasst, ist am Ende eine Frage der Perspektive (Physik vs. Ingenieurwesen). Das Entscheidende ist die Abkehr von den verlustbehafteten 3D-Koordinaten und Euler-Winkeln hin zu einer stabilen, globalen Darstellung.

„No free lunch“ trifft es perfekt – in der Raumfahrt bezahlen wir eben gerne mit dem vierten Parameter (Redundanz), um uns die Sicherheit und Recheneffizienz zu erkaufen, die wir für 6-Tonnen-Kaliber wie den ViaSat-3 oder künftige Mars-Missionen brauchen.

Ich werde mich jetzt erst einmal wieder in mein „Handbuch der Raumfahrttechnik“ vertiefen und schauen, ob ich dort noch weitere Schätze zur numerischen Drift-Kompensation finde.

Beste Grüße, albertus

 

[Jakito]

Danke. Aber der Dank gehört RKMK

Ich habe nach RKMK gesucht, und dann angefangen, folgendes 7-seitiges Dokument zu lesen:

https://wiki.math.ntnu.no/_media/aarms2015/lectures/liegrouprkmk.pdf

Es hat zwar auch einige "unnötige" Tippfehler (a la "M \in M" statt "m \in M"), aber auf Seite 4 ist der Gradient der Exponential-Abbildung ausgerechnet. Interessant ist, dass diese Formel die Funktion "(exp(z)-1)/z" benutzt. Vielleicht hift diese Formel dabei zu verstehen, wieso der Gradient der Exponential-Abbildung nicht immer in allen Punkten invertierbar ist.

 

[albertus]

Hallo ihr beiden, Jakito, der Kniff mit der Sinc-Funktion ist mathematisch natürlich elegant und löst das Problem der Division durch Null bei der Identität. Damit ziehst du die Diskussion sauber auf die Ebene der analytischen Funktionen.

Aber auch wenn wir die Division durch

formal "wegtarnen", bleibt die grundlegende topologische Realität bestehen, auf die ich vorhin hinauswollte: Man kann die

einfach nicht mit nur drei Parametern global und glatt überlagern. Irgendwo muss die Parametrisierung "aussteigen" oder mehrdeutig werden.

Es ist wie in der Kartografie: Man kann die Erdkugel nicht flach auf ein Blatt Papier (3 Parameter) pressen, ohne dass die Pole zerreißen oder man Verzerrungen bekommt – egal wie clever man die Projektion wählt. Die Quaternionen sind quasi der Globus selbst: ein Parameter mehr, aber dafür passt alles ohne Risse zusammen.

Ich finde es klasse, dass wir uns hier so tief in die Materie eingegraben haben. Für mich ist das Fazit klar: Die Mathematik bietet viele elegante Auswege (wie Jakitos Sinc-Funktion), aber für die Praxis im Orbit, wo es auf jede Rechenoperation ankommt, bleibt das "robuste" Quaternion der ungeschlagene Goldstandard.

 

[TomS]

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group#Exponential_map

Man hat eine überall glatte Darstellung eines Elementes der Gruppe SO(N) oder SU(N) mittels einer unitären Matrix U, d.h. reeller Winkel und hermitischer Matrizen sigma (speziell bei der SU(2) nutzt man die Pauli-Matrizen, bei der SU(3) die Gell-Mann-Matrizen lambda, i.A. sind aber Matrizen besser geeignet, die im Falle SU(2) gerade sigma / 2 entsprechen). Wie gesagt, das geht immer, da gibt es keine Singularität o.ä.

Speziell bei er SU(2) und nur bei deren 2-dim. Darstellung kann man das Matrixexponential aufgrund der speziellen Eigenschaften der Pauli-Matrizen

in der bekannten. Form kompakt umschrieben:

Das funktioniert aber nur wegen

und das trifft i.A. für SU(N) und SO(N) nicht zu, es trifft insbs. nicht für SO(3) zu, die im wesentlichen der adjungjerten Darststellung der SU(2) entspricht.

Special unitary group - Wikipedia

en.wikipedia.org

In dieser Darstellung erhält man das Problem einer scheinbaren Singularität, die aber lediglich dem Ausklammern des Einheitsvektors geschuldet ist, um aus den ungeraden Termen der Taylor-Reihe deer e-Funtkion die Taylor-Reihe des Sinus zu erhalten. Verzichtet man darauf, bleibt es bei dem Matrixexponential, das überall eine glatte Funktion in den Winkeln ist:

In mathematics, a Lie group is a group that is also a differentiable manifold, such that group multiplication and taking inverses are both differentiable.

... is called the exponential map, and it maps the Lie algebra g into the Lie group ⁠G⁠. It provides a diffeomorphism between a neighborhood of 0 in g and a neighborhood of e [identity] in G ... The exponential map gives a one-to-one correspondence between the connected Lie subgroups of a connected Lie group G and the subalgebras of the Lie algebra of G.

Lie group - Wikipedia

en.wikipedia.org

Wir haben es hier also mit mehrere Probleme zu tun:

1. von den Euler-Winkeln haben wir uns verabschiedet
2. das Ausklammern des Einheitsvektors der Winkel müssen wir nicht durchführen
3. den vierten Freiheitsgrad der Quaternionen müssen wir nicht zwingend betrachten

Es bleibt, dass wir für die Rotation von 3er-Vektoren die SO(3) betrachten müssen, jedoch bisher jedoch nur über die SU(2) reden. Dies ist möglich - und dabei sind SU(2) und SO(3) eine absolute Ausnahme - da beide die selbe Dimension 3 haben: 3 Gruppenparameter = Winkel, und da die SO(3) im wesentlichen die adjungierte Darstellung der SU(2) ist, d.h.

Wir bilden aus einem 3er-Vektor a das zuletzt genannte Objekt, das wir mit einem Quaternion identifizieren können, hier aber speziell mit einem Element die Lie-Algebra su(2). D.h. statt a zu rotieren, können wir die zuletzt genannte Matrix rotieren, wobei die SU(2) auf ihre eigene Algebra wirk; das ist gerade die adjustierte Darstellung.

Pauli matrices - Wikipedia

en.wikipedia.org

Das verbleibend Problem wäre,

1. ...
2. ...
3. ...
4. dass die Abbildung der SU(2) auf die SO(3) 2-zu-1 ist, d.h. +id und -id aus SU(2) werden beide auf +id der SO(3) abgebildet; -id ist kein Element der SO(3), da hier det(-id) = -1 wäre, d.h. -id (als 3*3 Matrix) gehört zur O(3); ich weiß aber nicht, ob das in diesem Zusammenhang ein Problem darstellt.

Letzter Punkt: nach den von @albertus genannte Gleichungen und den o.g. Punkten halte ich die erste (kinematische) Gleichung zur Bestimmung von q(t) mittel Integration der DGL in omega(t) für unproblematisch; die zweite Gleichung habe ich mit noch nicht genauer angesehen.

 

[TomS]

Man kann die

einfach nicht mit nur drei Parametern global und glatt überlagern. Es ist wie in der Kartografie: Man kann die Erdkugel nicht flach auf ein Blatt Papier (3 Parameter) pressen, ohne dass die Pole zerreißen oder man Verzerrungen bekommt – egal wie clever man die Projektion wählt.

Genau.

Die SO(3) lässt überall glatte Parameter also Karten zu, aber man benötigt zur gesamten Überdeckung mehr als eine Karte (mehr als ein lokales Koordinatensystem mit jeweils drei Parametern). Jede Karte ist für sich
glatt (sonst wäre es keine Karte).

Atlas (topology) - Wikipedia

en.wikipedia.org

Und ich glaube nun verstanden zu haben, dass der Gimbal-Lock (rank Jacobian < 3) nicht speziell an den Euler-Winkeln hängt, sondern auch in anderen Darstellungen in andere Form wieder auftaucht.

Wie man ihn loswerden wird, habe ich skizziert, allerdings meint @albertus, das wäre numerisch zu aufwändig (wo ich mangels Wissen nicht widerspreche möchte, und wobei ich evtl. auch noch was übersehen habe).

 

[albertus]

Wie man ihn loswerden wird, habe ich skizziert, allerdings meint @albertus, das wäre numerisch zu aufwändig (wo ich mangels Wissen nicht widerspreche möchte, und wobei ich evtl. auch noch was übersehen habe).

Hallo TomS, es freut mich sehr, dass wir beim Thema „Gimbal-Lock“ und der Notwendigkeit mehrerer „Karten“ (Atlanten) zur vollständigen Überdeckung der SO(3) zusammengefunden haben. Genau da liegt der Hund begraben: Mathematisch kann man zwischen diesen Karten wechseln, aber technisch ist das ein Minenfeld.

Um zu erklären, warum deine skizzierte Lösung (so elegant sie ist) in der Praxis meist als zu aufwendig gilt, muss man sich die Realität der Bordcomputer (OBC – On-Board Computer) ansehen. Wir arbeiten dort nicht mit moderner PC-Hardware, sondern mit spezialisierten Systemen, die ganz anderen Zwängen unterliegen:

1. Strahlungshärtung vs. Taktrate: Prozessoren im All (wie der RAD750 oder LEON-Chips) müssen gegen Alpha-Teilchen und hochenergetische Strahlung immun sein. Das erreicht man durch größere Leiterbahnabstände und redundante Logik auf dem Chip. Die Folge: Die Integrationsdichte ist gering und die Taktraten liegen oft nur im Bereich von 100 bis 200 MHz.
2. Rechenökonomie: Jeder Rechenzyklus kostet Energie und erzeugt Wärme, die im Vakuum schwer abzuführen ist. Die Quaternionen-Kinematik nutzt nur einfache Multiplikationen und Additionen. Ein Lie-Gruppen-Integrator hingegen erfordert die Berechnung von Matrix-Exponentialsätzen oder hohen Taylor-Reihen in jedem Zeitschritt – das ist für diese CPUs purer „Rechen-Luxus“.
3. Speicherplatz und Komplexität: Bordsoftware muss „Lean“ sein. Weniger Code bedeutet weniger Fehlermöglichkeiten bei der Validierung. Das Umschalten zwischen verschiedenen Koordinaten-Karten (dein Atlas-Ansatz) erhöht die Komplexität der Software und den Speicherbedarf für die Standard-Bibliotheken massiv.
4. Echtzeitfähigkeit: Lageregelung muss in extrem stabilen Zyklen laufen (Deterministic Timing). Die einfache Struktur der Quaternionen garantiert konstante Rechenzeiten, während komplexe Gruppenoperationen je nach Konvergenz der Algorithmen schwanken können.

In der Raumfahrt gilt: „Keep it simple and robust.“ Die Quaternion ist der ideale Kompromiss – sie ist eine globale Karte ohne Risse, die mit der Rechenpower eines Taschenrechners aus den 90ern absolut präzise funktioniert.

Ich finde es klasse, dass wir das Thema so tief durchdrungen haben. Das zeigt mal wieder: Die beste Mathematik ist die, die auch unter härtesten Bedingungen im Orbit besteht!

 

[Bernhard]

Das zeigt mal wieder: Die beste Mathematik ist die, die auch unter härtesten Bedingungen im Orbit besteht!

Ich habe bei verschiedenen Anwendungen mit diskretisierten Rechnungen (so wie Runge-Kutta) auch oft genug numerische Artefakte beobachten können, um gegenüber solchen Rechnungen eine "ordentliche Portion" Skepsis zu entwickeln. Auch deshalb lohnt es sich die Mathematik immer möglichst weit auszuarbeiten, um dann auch verlässliche Details und Kontrollrechnungen zu bekommen.