ΛCDM - Neutrinos

[TomS]

Jedenfalls wird ja diesem Feld-Potential eine Energie zugeschrieben, vermutlich immer auf ein Elektron bezogen.

Dem Feld - hier konkret dem Inflatonfeld - wird selbst Energie zugeschrieben; der Potentialterm V des Inflatonfeldes liefert einen Beitrag zu dessen Energiedichte. Dazu braucht es kein Teilchen im Feld.

Siehe z.B. auch das elektromagnetische Feld: https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_stress–energy_tensor

Mir geht es allerdings um die Nullpunktenergie, die ja nach der Theorie ℏ/2 beträgt, wobei die "Elementarzelle" wohl λC³ beträgt.

Der Wert folgt aus einer konkreten Berechnung. Schauen wir doch mal im verlinkten Buch.

... nur hat das Potential überhaupt nichts mit einer Energiedichte zu tun. Das Potential ist allenfalls eine spezifische Energie pro Ladung ...

Doch.

Aus den Potentialtermen des Feldes folgt dessen Energiedichte. Wenn du in ein elektrisches Feld einer Ladung reinsetzt, dann folgt für die Ladung eine zusätzliche potentielle Energie; hast du keine Ladung im Feld, hat das Feld immer noch eine eigene potentielle Energie.

Das Inflatonfeld trägt jedenfalls zum Energie-Impuls-Tensor bei:

wobei in der letzten Gleichung ... für räumliche Fluktuationen und Quanteneffekte steht.

Selbst wenn die räumlichen Fluktuationen des Feldes verschwinden, wenn also die Ableitungen Null sind, kann ... noch Quantenkorrekturen d.h. Quantenfluktuationen enthalten. Auch dazu müssten wir im Buch nachschauen, in wie weit diese betrachtet werden bzw. in wie weit der erste Erwartungswert im Kontext der Inflation ausreichend ist.

Mit "vac" meine ich dabei immer das Bunch-Davies-Vakuum, das keine teilchenartige Anregung enthält.

 

[Rainer]

hat du keine Ladung, hat das Feld immer noch eine potentielle Energie.

Die "Feldenergie" ist nichts anderes als die Selbstenergie der Quelle. Sie ist lediglich eine Rechengröße, die ohne Quelle auch nur Null ist.
E = Q²kC/2r
Ohne Ladung kein Feld keine Energie.

 

[TomS]

Die "Feldenergie" ist nichts anderes als die Selbstbindungsenergie der Quelle. Sie ist lediglich eine Rechengröße, die ohne Quelle auch nur Null ist.

Letzteres ist falsch, und wahrscheinlich dein grundsätzliches Verständnisproblem.

Wenn du das Inflatonfeld ganz für sich alleine betrachtest, kann es einen nicht verschwindenden Wert haben. Das ist der ganze Witz an diesen Ideen (Inflaton, Higgs ...)

 

[Rainer]

Das ist der ganze Witz an diesen Ideen

Das ist die Nullpunktenergie, kein Problem. Die kommt nach der klassischen "Feldenergie", die aber von der Quelle herrührt, es besteht Identität, sie ist Teil der Masse des Teilchens, sie bestimmt den Mindestradius der Ladungswolke eines Teilchens.

Als Feld betrachtet sind diese Quellen natürlich das Feld selbst, lokalisierte Anregungen, aber das sind zuerst einmal verschiedene Felder, zB das Teilchenfeld und das elektrische Feld. Aber das ist dann wohl doch dasselbe Feld.

Wenn die Feldenergie das Niveau eines Teilchens ℏ erreicht, dann nennt man sie ein Teilchen.

 

[TomS]

Das ist die Nullpunktenergie, kein Problem. Die kommt nach der klassischen "Feldenergie", die aber von der Quelle herrührt, es besteht Identität.

Als Feld betrachtet sind diese Quellen natürlich das Feld selbst, lokalisierte Anregungen, aber das sind zuerst einmal verschiedene Felder, zB das Teilchenfeld und das elektrische Feld. Aber das ist dann wohl doch dasselbe Feld.

Das verstehe ich nicht.

Wenn die Feldenergie das Niveau eines Teilchens erreicht, dann nennt man sie ein Teilchen.

Das ist i.A. nicht zutreffend.

Es stimmt im Falle eines "trivialen" Vakuums (erstmalig nach Dirac), wo der niedrigste Anregungszustand gerade einem einzelnen Teilchen entspricht. I.a. hat das wenig miteinander zu tun.

Es ist im vorliegenden Fall aber auch egal, da das Bunch-Davies-Vakuum so konstruiert ist, dass es keine teilchenartigen Anregungen enthält.


Irgendwie verstehe ich dein Problem nicht; es scheint eine Schnittmenge aus "Unverständnis deinerseits aufgrund missverständlicher Formulierungen anderer", "fehlendes Verständnis der mathematischen Formulierung und deren Bedeutung" und "eine ganz konkrete Frage zum Inflaton" zu sein.

 

[Rainer]

Ich hatte ergänzt:

Das ist die Nullpunktenergie, kein Problem. Die kommt nach der klassischen "Feldenergie", die aber von der Quelle herrührt, es besteht Identität, sie ist Teil der Masse des Teilchens, sie bestimmt den Mindestradius der Ladungswolke eines Teilchens.

Es ist im vorliegenden Fall aber auch egal, da das Bunch-Davies-Vakuum so konstruiert ist, dass es keine teilchenartigen Anregungen enthält.

Ohne Teilchen hat das Vakuum die Nullpunktenergie ℏ/2

 

[TomS]

Dann hat es die Nullpunktenergie ℏ/2

Zunächst mal ist das keine Energie sondern eine Wirkung.

Dann meinen wir in QFTs immer Energiedichten (auch wenn wir schlampig sind und manchmal nur Energie sagen); es müsste also irgendwas mit GeV / fm^3 sein.

Dann warum dieser Wert? Woher stammt der?

Das Feld hat die Nullpunktenergie, die man im Rahmen der Theorie berechnet, hängt also zumindest implizit auch von V ab. Das ist normalerweise eine divergente Größe, die renormiert werden muss.

 

[Rainer]

Dann warum dieser Wert? Woher stammt der?

Ich dachte, Du bist in dem Gebiet langhjähriger Fachmann.

Ein Teilchen bzw erstes Energieniveau hat immer den "Wert" ℏ
ℏ = c·m·rC = c²m/ωC
Die Nullpunktenergie ergibt sich aus der UR als halbes Teilchen
ℏ/2 = Δp·Δr = c·m·rC/2
Diese addiert sich als Bandbreite zu den Niveaus.

 

[TomS]

Das ist der nicht-renormierte Beitrag einer Mode. Aufsummiert liefert das unendlich, kann also nicht der tatsächlichen Nullpunktsenergie entsprechen.

 

[Rainer]

Das ist der nicht-renormierte Beitrag einer Mode. Aufsummiert liefert das unendlich, kann also nicht der tatsächlichen Nullpunktsenergie entsprechen.

Das ist der Fehler.
Die Nullpunktenergie ist nur die Mode 0.
Mode 1 ist ja bereits ein Teilchen und höhere Moden sind ein angeregetes Teilchen oder mehrere Teilchen, was man so gar nicht unterscheiden kann.

Dann meinen wir in QFTs immer Energiedichten (auch wenn wir schlampig sind und manchmal nur Energie sagen); es müsste also irgendwas mit GeV / fm^3 sein.

Die (Energie)-dichte ergibt sich in der HEP aus
ρ = E/c²(ℏc/E)³ = E⁴/ℏ³c⁵ = m⁴c³/ℏ³
ε = c²ρ = E⁴/ℏ³c³
diese wird allerdings üblich auch mit eV⁴ gemessen und nicht mit eV bezeichnet, lässt sich aber leicht umrechnen.

 

[TomS]

Das ist der Fehler.
Die Nullpunktenergie ist nur die Mode 0.
Mode 1 ist ja bereits ein Teilchen und höhere Moden sind ein angeregetes Teilchen oder mehrere Teilchen, was man so gar nicht unterscheiden kann.

Nein.

Und wir drehen uns im Kreis.

Höhere Moden können zur Vakuum-Energie beitragen, auch wenn die selbst nicht teilchenartig angeregt sind.

Nehmen wir als Beispiel die Quantenmechanik.

Es gilt für die Operatoren x, p

[x, p] = iħ

Daraus folgt mathematisch streng für alle Systeme die Unschärfenrelation

Δx Δp ≥ ħ / 2

Deswegen existieren dennoch gewisse Systeme mit Zuständen, in denen der Erwartungswert von x verschwindet:

〈x〉= 0

D.h. jedoch nicht, dass für alle Funktionen f(x) auch

〈f(x)〉= 0

verschwindet.

Der Zustand ist immer da, und nicht alle Erwartungswerte sind identisch Null.

Die relevanten Gleichungen im von mir verlinkten Skript sind (5.34.) und (5.38). Die Erwartungswerte 〈x〉= 0 und 〈p〉= 0 entsprechen in der QFT der Aussage, dass die Erwartungswerte der Feldoperatoren im speziell gewählten Zustand identisch verschwinden.

Die nächsten relevanten Gleichungen sind (5.35), (5.39) sowie daraus folgend (5.41, 42), die sicherstellen, dass die Unschärferelation für beliebige Zustände gilt. (5.35) und (5.39) entsprechen in der QFT der Aussage, dass zwar die Erwartungswerte der Feldoperatoren selbst identisch verschwinden, jedoch nicht die Erwartungswerte aller Funktionen der Feldoperatoren.

In der QFT wird über unendlich viele derartige Terme summiert. Aber dazu gilt es erst mal einen zu verstehen.

https://homepage.univie.ac.at/reinhold.bertlmann/pdfs/T2_Skript_Ch_5.pdf

 

[Rainer]

wird über unendlich viele derartige Terme summiert.

Soweit ich Casimir verstanden habe, wird über unendlich viele Nullmoden summiert, die jede mögliche (halbe) Wellenlänge haben, weil im Vakuum ja kein geschlossener Kasten ist.
Dies lässt aber die Quantelung der Teilchen in bestimmte Wellenlängen unbeachtet. Nur diese sind möglich und treten dann als Teilchen + 1/2 in Erscheinung.

Aber dazu gilt es erst mal einen zu verstehen.

Ich kann die Formeln nicht mal lesen. Erst gestern bin ich drauf gekommen, was A für das Photon wirklich bedeutet. Es nützt ja nichts, wenn man "A" liest.

Dass die Operatoren Ableitungen bedeuten ist schon klar, viel mehr aber nicht. Es steht nichtmal dabei, wonach abgeleitet wird. Abgeleitet wird auf beiden Seiten der Gleichung, das ist schon klar, dass das Sinn ergibt.

Ach, da steht es ja am Ende des Kapitel 5 unter der Grafik 5.3 des Oszillators
Due to its being a superposition of harmonic oscillator states, the coherent state energy is not restricted to the energy levels ℏω(n + 1/2 ) but can have any value (greater than the zero point energy).

 

[Rainer]

Ok, jetzt verstehe ich, was ⟨x〉= 0 und ⟨p〉= 0 bedeuten. Die mittlere Auslenkung und der mittlere Impuls sind Null. Dies ist doch selbstverständlich bei jedem symmetrischen Oszillator. Das hat aber gar nichts mit der Nullpunktenergie oder einem verschwindenden Feld zu tun. Diese ergibt sich aus ⟨ Δx² 〉 > 0. Auch ⟨ x²〉> 0 und ⟨ p²〉> 0

Soweit ich sehe, gibt Kapitel 5.1.2 die Nullpunktenergie in Gleichung (5.42) im Grundzustand an, alle höheren Niveaus enthalten Anregungen der Energieniveaus n. (5.41)
Dass das Feld unter den Grundzustand sinken kann, steht nirgends.

E ≥ ℏω/2 (5.48)
Theorem 5.1 (Zero point energy)
The zero point energy is the smallest possible energy a physical system can
possess, that is consistent with the uncertainty relation. It is the energy of its
ground state

Tatsächlich wird ja der Zerfall des Inflaton so modelliert, dass das Nulllevel sinkt und nicht, dass das Feld verschwindet. Die Glockenkurve sinkt mit dem Sombrero unter die Nulllinie. Das Feld existiert natürlich weiter, nur auf geringerem Niveau. Die vorherigen Nullpunktanregungen materialisieren somit zu reellen Teilchen dieses Feldes, weil sie dessen veränderte Energiniveaus erreichen.

 

[Rainer]

Soweit ich Casimir verstanden habe, wird über unendlich viele Nullmoden summiert, die jede mögliche (halbe) Wellenlänge haben, weil im Vakuum ja kein geschlossener Kasten ist.
Dies lässt aber die Quantelung der Teilchen in bestimmte Wellenlängen unbeachtet

Naja, Casimir betrachtet ja Photonen für die em.WW. Diese haben natürlich keine Grundschwingung, sondern jede noch so kleine Schwingung ist ein reelles Photon.

Das einzige, wodurch sich virtuelle und reelle Photonen unterscheiden können, wäre ein anderer Wert für den Induktionsfluss ψB und el.Feldfluss ψe.

 

[TomS]

Soweit ich Casimir verstanden habe, wird über unendlich viele Nullmoden summiert, die jede mögliche (halbe) Wellenlänge haben, weil im Vakuum ja kein geschlossener Kasten ist.
Dies lässt aber die Quantelung der Teilchen in bestimmte Wellenlängen unbeachtet. Nur diese sind möglich und treten dann als Teilchen + 1/2 in Erscheinung.

Der Casimir-Effekt wird für ein "triviales Vakuum" berechnet; die Moden sind ebene Wellen. Beim Inflaton hast du erstens ein expandierende Geometrie, und du hast nicht-triviale Moden. D.h. man kann die Grundzüge der Methode übertragen, nicht jedoch die Details oder die quantitativen Resultate.

Ich kann die Formeln nicht mal lesen. Erst gestern bin ich drauf gekommen, was A für das Photon wirklich bedeutet. Es nützt ja nichts, wenn man "A" liest.

Dass die Operatoren Ableitungen bedeuten ist schon klar, viel mehr aber nicht. Es steht nichtmal dabei, wonach abgeleitet wird. Abgeleitet wird auf beiden Seiten der Gleichung, das ist schon klar, dass das Sinn ergibt.

Auf was beziehst du dich?

Ach, da steht es ja am Ende des Kapitel 5 unter der Grafik 5.3 des Oszillators
Due to its being a superposition of harmonic oscillator states, the coherent state energy is not restricted to the energy levels ℏω(n + 1/2 ) but can have any value (greater than the zero point energy).

Vergiss kohärente Zustände. Ich habe nicht den Eindruck, dass du bis dahin alles verstanden hast.

 

[TomS]

Ok, jetzt verstehe ich, was ⟨x〉= 0 und ⟨p〉= 0 bedeuten. Die mittlere Auslenkung und der mittlere Impuls sind Null. Dies ist doch selbstverständlich bei jedem symmetrischen Oszillator. Das hat aber gar nichts mit der Nullpunktenergie oder einem verschwindenden Feld zu tun.

Warum bist du immer so hastig??

Beim harmonischen Oszillator hat es wenig damit zu tun, aber mittels derselben Methode berechnet man auch andere Systeme, und da sieht es anders aus.

Die Aussage "dass zwar die Erwartungswerte der Feldoperatoren selbst identisch verschwinden, jedoch nicht die Erwartungswerte aller Funktionen der Feldoperatoren" ist nicht-trivial, nicht im harmonischen Oszillator, und erst recht nicht, wenn du sie auf ein anderes System oder auf die QFT überträgst.

Theorem 5.1 (Zero point energy)
The zero point energy is the smallest possible energy a physical system can
possess … is the energy of its
ground state

Ja. Ich habe hoffentlich nichts anderes gesagt.


Es ging um deine Aussage

Das ist der Fehler.
Die Nullpunktenergie ist nur die Mode 0.
Mode 1 ist ja bereits ein Teilchen und höhere Moden sind ein angeregetes Teilchen oder mehrere Teilchen, was man so gar nicht unterscheiden kann.

und meine Entgegnung

höhere Moden können zur Vakuum-Energie beitragen, auch wenn die selbst nicht teilchenartig angeregt sind.

Darauf wollte ich hinaus. Aber ich glaube nicht, dass du das schon siehst.

Es geht darum, dass die Erzeuger und Vernichter speziell für das quadratische Potential des harmonischen Oszillators konstruiert sind (in der QFT sind sie für freie Wellen auf einer ggf. nicht-trivialen expandierenden Geometrie und für verschwindendes Potential konstruiert). Wenn man den Grundzustand (bzw. das Vakuum in der QFT) mittels dieser Erzeuger und Vernichter definiert, dann gibt es keinen Grund, warum dieser so definierte Grundzustand (Vakuumzustand der QFT) nicht für andere Potentiale (selbst-wechselwirkendes Inflatonfeld) keine zusätzlichen Beiträge zu Erwartungswerten des anderen Potentials (in der QFT nicht-verschwindendem Potential) liefern sollte.

Meine Idee war, das einmal explizit für ein Potential und eine Mode durchzurechnen, damit du verstehst, was ich meine.

 

[Rainer]

Warum bist du immer so hastig??

Wieso hastig? Nichts anderes steht im Skriptum.

Auf was beziehst du dich?

Das war ein ganz allgemeines Beispiel, ich hätte auch von F = a·m sprechen können.

aber mittels derselben Methode

Das steht aber nicht im Skriptum?

Ich meine, dass das Vakuum symmetrisch ist, ist ja sowieso immer klar, da ist der Erwartungswert von x und p immer Null. Wieso sollte das irgend welche Implikationen bringen?

 

[TomS]

Nichts anderes steht im Skriptum.

Ja.

Da geht es aber speziell um den harmonischen Oszillator. Im Allgemeinen trifft "das hat gar nichts mit der Nullpunktenergie zu tun" aber nicht zu.

Ich meine, dass das Vakuum symmetrisch ist, ist ja sowieso immer klar, da ist der Erwartungswert von x und p immer Null. Wieso sollte das irgend welche Implikationen bringen?

Weil die selben Formeln – übertragen auf die QFT und das Inflaton – eine andere Bedeutung erhalten.

Es ging mir um die Aussage

… "dass zwar die Erwartungswerte der Feldoperatoren selbst identisch verschwinden, jedoch nicht die Erwartungswerte aller Funktionen der Feldoperatoren" ist nicht-trivial, nicht im harmonischen Oszillator, und erst recht nicht, wenn du sie auf ein anderes System oder auf die QFT überträgst

sowie in der Folge darum

… dass die Erzeuger und Vernichter speziell für das quadratische Potential des harmonischen Oszillators konstruiert sind (in der QFT sind sie für freie Wellen auf einer ggf. nicht-trivialen expandierenden Geometrie und für verschwindendes Potential konstruiert). Wenn man den Grundzustand (bzw. das Vakuum in der QFT) mittels dieser Erzeuger und Vernichter definiert, dann gibt es keinen Grund, warum dieser so definierte Grundzustand (Vakuumzustand der QFT) nicht für andere Potentiale (selbst-wechselwirkendes Inflatonfeld) keine zusätzlichen Beiträge zu Erwartungswerten des anderen Potentials (in der QFT nicht-verschwindendem Potential) liefern sollte.

Dazu muss man die Berechnungen für den harmonischen Oszillator zunächst verstehen und dann auf eine anderen Fall übertragen.

 

[Rainer]

Dazu muss man die Berechnungen für den harmonischen Oszillator zunächst verstehen und dann auf eine anderen Fall übertragen.

Das ist ja nicht schwierig mit der Grundschwingung und den Oberschwingungen. Dazu genügt die klassische Physik. Die einzige Komplikation sind die Auslenkungen xn = ²(n+1/2)x°, das war mir neu. Daraus ergibt sich dann im Kastenpotential der sinkende Niveauunterschied.

Und wenn der Kasten nicht zu rC passt, dann muss ein entsprechend hohes Energieniveau eingenommen werden. Photonen können sich hingegen jedem Format anpassen, da mangels Ruhemasse rC=0.

Die Frage ist halt, welcher Kasten im Vakuum anzunehmen ist. Dies bestimmt sich nach Dichte bzw Temperatur, und ohne diese im Vakuum eben ohne Begrenzung, die maximale Grundschwingung x° ist dann durch den Hubble Radius gegeben, also durch rC.

 

[TomS]

Die Frage ist halt, welcher Kasten im Vakuum anzunehmen ist.

Im Vakuum gibt es keinen Kasten (außer bei einem endlichen Universum). Man quantisiert die Moden der jeweiligen Wellengleichung. In einem flachen, statischen Universum sind dies ebene Wellen, in einem flachen, jedoch expandierenden Universum sieht es ähnlich – nicht exakt – so aus wie hier bei den Gravitationswellen

primordiale Gravitationswellen im Zuge der Inflation

Ich versuche mal, hier einige Aspekte zu dem Thema etwas präziser darzustellen. Zunächst geht es um den Mechanismus, wie primordiale Gravitationswellen die Strukturinformationen über die Dauer Inflation hinweg konservieren können - entgegen der landläufigen Annahme, die Inflation würde diese...

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Dies bestimmt sich nach Dichte bzw Temperatur, und ohne diese im Vakuum …

Im Vakuum ist die Temperatur exakt Null. Umgekehrt ist ein Zustand mit Temperatur > Null kein Vakuumzustand.

die maximale Grundschwingung x° ist dann durch den Hubble Radius gegeben, also durch rC.

Die Schwingungen sind durch die Lösungen der Wellengleichung gegeben.

Die Frage des Vakuums hatten wir hier diskutiert:

primordiale Gravitationswellen im Zuge der Inflation

dass du bitte aufhören sollst, mich ständig zu belehren. Naja, jeder macht Fehler, soll ich die stehen lassen? Aber ich wusste nicht, in welche Sparte ich Dich einordnen soll, ich vermutete eher Mathematik. Stimmt

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Üblicherweise quantisiert man die Lösungen der freien Theorie, also die o.g. Lösungen. Bzgl. dieser Lösung definiert man auch das Vakuum. Bei Anwesenheit eines Potentialterms resultieren aus diesem jedoch auch für das so definierte Vakuum nicht-verschwindende Terme.

Das verstehst du, wenn du in der QM den Erwartungswert eines Potentials

V(x) ~ x^4

für den Grundzustand des harmonischen Oszillators |0〉mittels der Erzeuger und Vernichter berechnest.

In einer QFT hättest du nicht ein Paar Erzeuger und Vernichter, sondern unendlich viele, ein Paar für jedes k.