Quantengravitation

Bernhard

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Ist das etwa ein getarnter Versuch hier Werbung zu verbreiten?? Ein kleiner Blick auf die Stamm-URL verheißt da "nichts Gutes".
 

Herr Senf

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Ist die SU(5) mit 24 nicht viel zu klein, nimmt man doch nur noch zum Üben?

Sie hat ihre ersten Probleme schon mit der Nichtbeobachtung des Protonenzerfalls.
Der neutrinolose doppelte Betazerfall würde sie endgültig zur Untergruppe degradieren.

Richtung Big Bang geht nicht unter SO(10) zu machen, da kann man mit 45 wenigstens was anfangen.
 

Bernhard

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Ist die SU(5) mit 24 nicht viel zu klein, nimmt man doch nur noch zum Üben?
Kroni hat doch eine wesentlich größere Gruppe vorgeschlagen, welche die SU(5) nur enthält. Die Definition der zugehörigen Eichtheorie ist allerdings eher unvollständig. Die Quantenzahlen H O P E S lassen nichts Gutes erwarten...
 

ralfkannenberg

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Kroni hat doch eine wesentlich größere Gruppe vorgeschlagen, welche die SU(5) nur enthält.
Hallo Bernhard,

natürlich, aber ich hätte es mit einer minimalen Erweiterung und nicht mit einer luxuriösen, in der man alles nach Belieben herleiten kann, versucht.

Die Definition der zugehörigen Eichtheorie ist allerdings eher unvollständig.
Eine solche scheine ich übersehen zu haben ...

Die Quantenzahlen H O P E S lassen nichts Gutes erwarten...
Dachte ich erst auch, andererseits ist die Namensgebung der Farbladung auf demselben "Niveau". Und ja - wenn es der Veranschaulichung dienen kann, warum auch nicht ? Merken kann man sich das ja so.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Jein, die GUT

die SU(5) [5]⊗[5'] = [1]+[24] hat 24 Eichbosonen = 25-1 Generatoren
dabei kommt der Protonenz(u)fall raus p = duu --> Xu --> u'e[sup]+[/sup]u + π°e[sup]+[/sup] mit schwerem X
Hallo Herr Senf,

ja stimmt - im Georgi–Glashow Modell arbeitet man mit der SU(5).

Danke schön für den Hinweis.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Hallo Reinhard,

dank der Erläuterung von Herrn Senf erübrigt sich meine Frage; als erste minimale weitere Erweiterung hätte ich dann natürlich auch die U(1) zusätzlich hinzuzunehmen versucht.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

TomS

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Quantengravitation durch erweitertes Standardmodell.
Verknüpfung von Bosonen definiert die Raumkrümmung (Riccitensor).

Genaueres hier:

http://www.kro4pro.com/SymetrieModell/
Schon die erste Gleichung ist sinnlos. Eine Coxetergruppe E9 ist nicht identisch mit einer Liegruppe SU(5) * ... Wenn jedoch E9 einer affinen Kac-Moody-Algebra entspräche, dann wäre die Dimension links des Gleichheitszeichens unendlich, die rechts jedoch endlich.

Es wird nicht besser: SU(5) für DE ist einfach geraten.

Die Aussage, aus der SU(5) gingen Spin 2 Teilchen hervor, ist ziemlich trivial; jede SU(N) liefert entsprechende höhere Multiplets. Welches genau darf es denn sein? Wie wir wissen, kann das Standardmodell in die SU(5) eingebettet werden, d.h. die fundamentale Darstellung ist Spin 1/2, die adjungierte Spin 1. Spin 2 existiert nicht in den relevanten Darstellungen.

Der Titel suggeriert, das Ganze hätte etwas mit Gravitation zu tun. Dazu benötigen wir in 4 Dimenisonen die SO(3,1) ~ SL(2,C) ~ SU(2) * SU(2). Es gilt dim[SO(3,1)] = 4*(4-1)/2 = 6 bzw. dim[SU(2) * SU(2)] = 2 * dim[SU(2)] = 2 * (2^2 - 1) = 6. Allerdings ist dim[SU(5)] = 24. Auch mit der Poincare-Gruppe (10 statt 6 Generatoren) passt das nicht zu 24.

Das Coleman-Mandula-Theorem besagt, dass Theorien mit skalaren Ladungen ausschließlich trivial mittels eines direkten Produktes aus einer internen Symmetriegruppe und der Poincaregruppe konstruiert werden. Anders ausgedrückt ist es unmöglich, die Poincaregruppe in nicht-trivialer Weise aus einer anderen Gruppe abzuleiten - hier wäre das die SU(5), für die das nicht funktioniert.

Fazit: hopeless
 
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Dgoe

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Tom, Was ist denn dim[SU(5)]? Was heißt das für "normalirdische", sag ich mal so, also Laie? Nur der Neugier halber. Bei dem davor kam ich nicht auf 24, das ging noch so, passte alles, die Notationsdetails ignorierend. Man kann die Zahlen halt unabhängig der Notationen prima in einen Einklang bringen. Plötzlich taucht nur 24 auf!?

Gruß,
Dgoe

 
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TomS

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Tom, Was ist denn dim[SU(5)]? Was heißt das für "normalirdische", sag ich mal so, also Laie? Nur der Neugier halber. Bei dem davor kam ich nicht auf 24, das ging noch so, passte alles, die Notationsdetails ignorierend. Man kann die Zahlen halt unabhängig der Notationen prima in einen Einklang bringen. Plötzlich taucht nur 24 auf!?
SU(5) ist die Liegruppe der 5 * 5 Matrizen, die 5-dim. komplexe Vektoren (ohne Längenänderung) drehen. Derartige Drehungen werden mittels Drehwinkeln beschrieben (für 3-dim. reelle Vektoren bzw. die 3 * 3 Matrizen benötigt man bekanntermaßen zufällig gerade 3 Drehwinkeln). Die Anzahl der insgs. notwendigen Drehwinkel wird die Dimension der Liegruppe genannt. Im Falle der SU(5) ist das eben 24.
 

ralfkannenberg

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Was ist denn dim[SU(5)]? Was heißt das für "normalirdische", sag ich mal so, also Laie?
Hallo Dgoe,

Deine Frage ist sehr berechtigt und die Antwort leider selbst für einen Mathematiker nicht intuitiv, da der Dimensionsbegriff bei Lie-Gruppen - ich würde einer Gruppe ohnehin gar keine Dimension zuordnen wollen - ein anderer ist als man es sich eigentlich gewohnt ist.

Üblicherweise ist die Dimension eine Zahl, die angibt, wieviele linear unabhängige Vektoren man benötigt, um einen Vektorraum aufzuspannen, also "aufzubauen".

Per definitionem (hoffentlich stimmt das, ich habe mich nie ernsthaft mit Lie-Gruppen beschäftigt) ist die Dimension einer Lie-Gruppe die Dimension der unterliegenden Mannigfaltigkeit. Man landet da also gleich ziemlich tief in der Mathematik und es ist möglich, ein Hochschuldiplom in Mathematik zu erwerben, ohne sich jemals mit Mannigfaltigkeiten beschäftigt zu haben.

Wie auch immer, ich habe in diesem Zusammenhang mal nachgelesen, was zu diesem Thema bei den Matrizen geschrieben wird; dabei habe ich im Abschnitt "Vektorräume von Matrizen" eine Formulierung entdeckt, die meines Erachtens falsch ist:

Eine Basis von K[sup]mxn[/sup] ist gegeben durch die Menge der Einheitsmatrizen E[sub]ij[/sub] mit i in {1,m}, j in {1,n}. Diese Basis wird manchmal auch als Standardbasis von K[sup]mxn[/sup] bezeichnet.

Das sind also (mxn)-Matrizen, die nur eine 1 haben (und zwar in der i.-ten Spalte und in der j.-ten Zeile) und an allen anderen Stellen eine 0. Das sind aber für m>1 und/oder n>1 keine Einheitsmatrizen, denn Einheitsmatrizen sind Einheiten und in der linearen Algebra kommt noch die Zusatzbedingungen dazu, dass die Einheitsmatrix das Neutralelement der Matrizenelement sein soll.

Somit ist die Einheitsmatrix die Matrix, die in der Hauptdiagonale überall 1 hat und ansonsten überall 0.

Somit ist die EInheitsmatrix also die Summe aller "Wikipedia-Einheitsmatrizen" mit indizes i=j.

Kann das bitte jemand von denen, die dort Berechtigung hat, korrigieren lassen: ich würde an dieser Stelle den Begriff "Einheitsmatrix" durch den Begriff "Standardbasis-Matrix" ersetzen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Bernhard

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ich würde an dieser Stelle den Begriff "Einheitsmatrix" durch den Begriff "Standardbasis-Matrix" ersetzen.
Hallo Ralf,

das passt schon. Wenn man 'Einheitsmatrix' ohne weitere Spezifikationen verwendet meint man eigentlich immer das Ding mit den Einsen in der Diagonale. Alles andere ist eher ungebräuchlich.
 

ralfkannenberg

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Nee, unter "Vektorräume von Matrizen" ist der link auf die Einheitsmatrizen falsch https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitsmatrix

Im Hauptartikel dazu steht es in der von Ralf "geforderten" richtigen Form https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenraum
Im wiki muß nur der link auf "Standardmatrizen" geändert werden https://de.wikipedia.org/wiki/Standardmatrix

Scheint eher ein Typo zu sein - Grüße Senf
Hallo Herr Senf,

beides muss geändert warden - der Link und die Bezeichnung. Ich muss gestehen, dass mir der Ausdruck "Standardmatrix" bislang unbekannt war, ich hätte das eher als eine "Elementarmatrix" bezeichnet. Aber egal - die Wortwahl "Standardmatrik" ist m.E. auch ok.


Kurz und gut:


falsch:

Eine Basis von K[sup]mxn[/sup] ist gegeben durch die Menge der Einheitsmatrizen E[sub]ij[/sub] mit i in {1,m}, j in {1,n}.

richtig:

Eine Basis von K[sup]mxn[/sup] ist gegeben durch die Menge der Standardmatrizen E[sub]ij[/sub] mit i in {1,m}, j in {1,n}.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

TomS

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Hallo Dgoe,

Deine Frage ist sehr berechtigt und die Antwort leider selbst für einen Mathematiker nicht intuitiv, da der Dimensionsbegriff bei Lie-Gruppen - ich würde einer Gruppe ohnehin gar keine Dimension zuordnen wollen - ein anderer ist als man es sich eigentlich gewohnt ist.

Üblicherweise ist die Dimension eine Zahl, die angibt, wieviele linear unabhängige Vektoren man benötigt, um einen Vektorraum aufzuspannen, also "aufzubauen"
So ist das auch bei der Liegruppe.

Wenn man das so abstrakt diskutiert, kann man's nur schwer verstehen. Wenn man's konkret macht, ist's nicht schwer.

Beispiel SU(2):

1) Es handelt sich um komplexe 2 * 2 Matrizen, also vier Einträge. Man kann einen Vektor als Linearkombination von Einheitsvektoren darstellen. Daran ändert sich auch nichts, wenn man die vier Zahlen in einer Matrix statt in einem Spaltenvektor anordnet, oder? Demnach hätten wir also einen 4-dim. komplexen oder einen 2*4 = 8-dim. reellen Vektorraum. Dass das jetzt noch eine Gruppenstruktur aufweist, interessiert bei der Dimensionsbetrachtung nicht (die Dimension der SU(2) ist nicht 8 sondern 3, weil nur bestimmte 2 * 2 Matrizen erlaubt sind, also weil zusätzliche Bedingen vorliegen)

2) Man kann die SU(2) Matrizen schreiben als U(θ)= ∑[SUB]a=1,2,3[/SUB] T[SUP]a [/SUP]f(θ[SUP]a[/SUP]). Die T's stehen für drei spezielle Matrizen, die die sogenannte su(2) Liealgebra (nicht Liegruppe) aufspannen. Die θ's stehen für die drei Drehwinkel, die f's für Funktionen (sin, cos). Eine ähnliche Darstellung existiert für beliebige Liegruppen. Damit kann man die Dimension sofort an der Anzahl der T's ablesen. Die T's entsprechen somit in etwa den Einheitsvektoren.
 
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