Rotierende Ebene

Bernhard

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Und mit Latex was zu bauen ist mir zu mühsam, vielleicht kann da jemand anderes aushelfen.
Eigentlich ist hier bereits das Notwendige aufgeschrieben, allerdings verwendet die Wikipedia bei Matrizen scheinbar einen eigenen/neueren Dialekt. Ich zeige deswegen mal den alten LaTeX-Code für einen Spaltenvektor:
$$A=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)$$
und eine 3x3-Matrix (sprich 3 kreuz 3 Matrix)
$$B=\left(\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{array}\right)$$
 
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ralfkannenberg

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D[SUB]0°[/SUB]
(1 0
0 1)

D[SUB]90°[/SUB]
(0 -1
1 0)
Hallo Dgoe,

machen wir mal weiter:

wie sieht D[sub]45°[/sub] aus ?

Was also sind die Bilder von (1,0) und (0,1) bei einer Drehung um 45° ?

Nehmen wir also den ersten Vektor, also (1,0). Dieser zeigt nach einer Drehung um 45° in die Richtung (1,1), ist aber kürzer als (1,1), da die Länge des Vektors bei einer Drehung ja unverändert bleibt. Seine Länge bleibt also 1.

Dank dem Pythagoras (oder sonst wo her) wissen wir, dass die Länge der Diagonale eines Quadrates mit Kantenlänge 1 die Länge sqrt(2) hat:

1² + 1² = Länge(Diagonale)², d.h. Länge(Diagonale)² = 1² + 1² = 2 => Länge(Diagonale)² = 2 => Länge(Diagonale) = sqrt(2).

Der Vektor (1,1) hat also eine Länge von sqrt(2), ist also etwas länger als der um 45° gedrehte Vektor (1,0), dessen Länge ja 1 ist.

Um ihn also auf die richtige Länge zu "normieren", muss man ihn - genauer: seine Komponenten - durch sqrt(2) dividieren.

Er ist dann die Diagonale eine Quadrates, dessen Kantenlänge ebenfalls verkürzt werden musste, und zwar ebenfalls um denselben Wert wie die Diagonale.

Welchen Wert also haben die x-Koordinate und die y-Koordinate - das sind ja gerade die Kantenlängen dieses Quadrates mit Diagonalenlänge 1, des um 45° gedrehten Vektor (1,0), also von D[sub]45°[/sub](1,0) ?


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Ich

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Ich hab mir noch ein Video ausgesucht Rotationsmatrizen - Herleitung zu Fuß (Herleitung der Formel für Rotationsmatrizen nur mit Schulstoff. Rechnen bis zum Umkippen :D), das allerdings über eine Stunde lang ist - mal sehen wie lange ich durchhalte.
Die Herleitung (in 2D) ist eigentlich ganz einfach. Es reicht, wenn du die Basisvektoren drehst, x' hat dann z.B. nicht mehr (1,0), sondern (cos(p),sin(p)). Den tatsächlichen Vektor, den du drehen willst, setzt du ja aus den Basisvektoren zusammen.
 

Dgoe

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Hallo Bernhard,

ich habe noch nicht alles gelesen. Daher frage ich mich, warum Du alles doppelt und dreifach notiert hast? Warum die Klammer nur in der Mitte, trotz LaTex? Und warum der letzte Block genau identisch dem vorherigen und leicht abgesetzt ist (ist mir schon öfter aufgefallen).

Ich denke aber diese Fragen klären sich per Lektüre auch irgendwann.

Gruß,
Dgoe
 
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Bernhard

Registriertes Mitglied
Daher frage ich mich, warum Du alles doppelt und dreifach notiert hast?
Hallo Dgoe,

sieht so aus, als würde an dem LaTeX-Interpreter gerade gearbeitet werden :confused: :confused: . Der zeigt nämlich immer wieder unterschiedliche Ergebnisse an. Zur Zeit bekomme ich nur eine Fehlermeldung. Gestern sind mir die dreifachen Einträge in der Vorschau auch schon aufgefallen. Nach dem Absenden sah dann aber alles OK aus.
MfG
 

ralfkannenberg

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Die Herleitung (in 2D) ist eigentlich ganz einfach. Es reicht, wenn du die Basisvektoren drehst, x' hat dann z.B. nicht mehr (1,0), sondern (cos(p),sin(p)). Den tatsächlichen Vektor, den du drehen willst, setzt du ja aus den Basisvektoren zusammen.
Hallo "Ich",

die einfachen Fälle p in {0°, 90°, 180°, 270°} wurden ja bereits hergeleitet, aktuell sind wir dabei, den Fall p=45° geometrisch herzuleiten, danach folgen dann noch die beiden Fälle p in {30°, 60°}.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Ich denke aber diese Fragen klären sich per Lektüre auch irgendwann.
Hallo Bernhard,

und tatsächlich, allerdings per Lektüre Deiner Antwort, anstatt der Artikel.

"Mein" Interpreter scheint auch bei Wikipedia einiges zu verdoppeln :confused:

@Ralf: bin noch dabei, Deine Frage zu 'parsen', zu enträtseln...

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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@Ralf: bin noch dabei, Deine Frage zu 'parsen', zu enträtseln...
Hallo Dgoe,

Du meinst, ich habe zwar den Lösungsweg skizziert, aber die Frage nicht gut formuliert ;)


Also, lagern wir den einfachen, aber wichtigen Schritt, in eine kleine Aufgabe aus:

gegeben: Vektor (1,0), Drehung um 45°

gesucht: Bild des Vektors (1,0)

Skizze Lösungsweg:hier


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Ich

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die einfachen Fälle p in {0°, 90°, 180°, 270°} wurden ja bereits hergeleitet, aktuell sind wir dabei, den Fall p=45° geometrisch herzuleiten, danach folgen dann noch die beiden Fälle p in {30°, 60°}.
Wollte Dgoe nicht grundsätzlich die allgemeinen Matrizen herleiten? Dann ist es doch schneller, einfacher und verständlicher, wenn man die Basisvektoren um einen beliebigen Winkel dreht und den interessierenden Vektor aus den gedrehten Basisvektoren zusammensetzt. Dann kann man die Matrix direkt ablesen.

Aber ich will nicht weiter stören.
 

Dgoe

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Hallo Ich,

stört kein bischen. Ich habe aus irgendeinem Video oder Text entnommen, dass ich mir die Additionstheoreme erst noch genauer ansehen sollte.

Zu sin und cos habe ich mir eine eigene Merkregel ausgedacht:
In sin ist das i, das wie y 'klingt' und dort den Abstand zeigt, während für cos dann nur noch x übrigbleibt, dort ist kein (Buchstabe) i drin.

Und manchmal kippt das Dreieck, so dass sin plötzlich oben ist, aber es ist ja gekippt und alles ist wieder gut...

Na ja, ... weil man sonst schnell durcheinander kommt.

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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Wollte Dgoe nicht grundsätzlich die allgemeinen Matrizen herleiten? Dann ist es doch schneller, einfacher und verständlicher, wenn man die Basisvektoren um einen beliebigen Winkel dreht und den interessierenden Vektor aus den gedrehten Basisvektoren zusammensetzt. Dann kann man die Matrix direkt ablesen.

Aber ich will nicht weiter stören.
Hallo "Ich",

Du störst überhaupt nicht, ich möchte das Ganze einfach nur vorgängig anhand ganz einfacher Beispiele geometrisch herleiten, ehe wir den Allgemeinfall betrachten. Letztlich sollte Dgoe beurteilen, ob er schon fit ist für den allgemeinen Fall oder ob er erst noch gerne den Fall der Drehung um 30° geometrisch herleiten möchte.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Zu sin und cos habe ich mir eine eigene Merkregel ausgedacht:
Hallo Dgoe,

das ist eine schlechte Merkregel. Merke Dir besser, dass der Sinus das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypothenuse berechnet. Als Eselsbrücke:

sin "=" gegen / hypo

entsprechend

cos "=" Ankathete / Hypothenuse

und

tan "=" Gegen / An

Das kann man auch bei beliebig gedrehten Dreiecken anwenden.
 

Dgoe

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Warum findest Du im Internet bei sin(45°) aber eine andere Zahl, nämlich (1/2)*sqrt(2) ?
Weil dann gelten müsste, dass:
(1/2)*sqrt(2) = 1/sqrt(2)
ist, was man prüfen kann, wenn man beide Seiten mit *sqrt(2) erweitert:
((1/2)*sqrt(2))*sqrt(2) = (1/sqrt(2))*sqrt(2)
(1/2)*2 = 1
1 = 1
Stimmt also.

Gruß,
Dgoe
 
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