Frage zum Zwillingsparadoxon

ralfkannenberg

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Ich bedauere - ich wollte Euch antworten und habe 1/2 Stunde lang einen Beitrag verfasst, aber der Explorer ist gecrasht. Ich tippe ihn kein zweites Mal ein, sorry - so wichtig ist es nicht. Ich habe diese Woche einen wichtigen beruflichen Termin und ich möchte noch irgendwann heute nach Hause kommen.
 

ralfkannenberg

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Also das Werk war "Milky Way" von Peter Doig und wird derzeit in Riehen bei Basel in der Foundation Beyeler ausgestellt.

Ich habe in meinem Beitrag einfach beschrieben, welcher Stern welcher ist - das ist nun halt leider verloren gegangen. Man kann das Bild problemlos ergoogeln; der Grosse Wagen ist oben in der Mitte auf dem Kopf, ohne die beiden vorderen Deichselsterne, der Kleine Wagen ist ebenso wie die 3 hintersten Schwanzsterne vom Drachen sehr schön dargestellt; darunter die Cassiopeia und etwas arg schief der Kepheus; sehr schön wieder die Capella, zweifelhaft Aldebaran in der Sirius-Helligkeit, aber mit den beiden hellsten Hyadensternen.

Perseus (vor allem gamma und delta Persei) und Zwillinge etwas gewöhnungsbedürftig; beim Orion fehlt der linke untere Fußstern und die Andromeda ist ebenfalls gewöhnungsbedürftig, dafür wieder schön das Herbstviereck mit Sadmatar, aber ohne Sadalbari und lamda pegasi.

Irgendwie schief in der Landschaft der Schwan und rechts über ihm wohl die Wega, die ich eigentlich woanders vermuten würde.

Wie gesagt, nun ohne Details und wie es dazu kam, dass ich eingeschlossen wurde, ist nicht wichtig und bringt auch keinerlei Mehrwert zum Zwillingsparadox.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

zabki

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hallo Ralf,
besten Dank für die immer noch sehr ausführlich Antwort! Tut mir leid für die vergebliche Arbeit,
grüße zabki
 

Dgoe

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Frage 1: was ist die Bedeutung von x_0 ?
Frage 2: was ist der Absolutbetrag von v * t / x_0 ?
Frage 3: was ist die Bedeutung vom cos(v * t / x_0) ?
1) der Kreisradius
2) v und x_0 sind ja vorgegeben, aber t kann alles mögliche zwischen 0 und 10 sein
3) das wüßte ich auch gerne mal

Ersetze x_0 durch a und t durch x
Ok, so wie hier?



x = x_0 * cos(v * t / x_0)
y = x_0 * sin(v * t / x_0)
z = 0

x_0 ist der Radius der Kreisbahn, also 100.000 km. v ist der Absolutbetrag der Geschwindigkeit, also 0,5c.

a) Du kannst jetzt überprüfen, ob der Startpunkt bei t=0 die Aufgabenstellung erfüllt.
b) Berechne erneut die drei Ableitungen dx/dt, dy/dt und dz/dt, allerdings ohne Zahlenwerte. Bitte x_0 und v also nicht ersetzen.
c) Zeichne den so berechneten Geschwindigkeitsvektor in eine geeignete Skizze und überprüfe, ob dieser Vektor parallel zur Tangente der Kreislinie liegt
d) Berechne den Absolutbetrag der berechneten Geschwindigkeit gemäß v = sqrt( (dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)² )
Demnach ist b)
dx/dt = -v*sin(v*t/x_0)
dy/dt = v*cos(v*t/x_0)
dz/dt = 0

Fortsetzung folgt...

Gruß,
Dgoe
 

Bernhard

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3) das wüßte ich auch gerne mal
Ich habe oben bereits beschrieben, wie man die Bahn des Raumschiffes zeichnen kann. Erst wenn man das gemacht hat, sieht man ohne Zweifel, dass die drei Funktionen die Aufgabenstellung erfüllen.

Wie kommt man nun zu dem Argument innerhalb der cos-Funktion?

Nun, das Raumschiff legt in der Zeit t die Strecke v*t zurück. Die gesamte Länge des Kreises beträgt aber 2 * pi * x_0. Das Argument der cos-Funktion muss nun zusätzlich bei einem Umlauf von 0 bis 2*pi wandern und das geht wie folgt. Wir normieren die Strecke v*t auf 1 gemäß v*t / (2*pi*x_0) und multiplizieren noch mit 2*pi. Das ergibt dann

2*pi* v*t / (2*pi*x_0) = v*t / x_0

Der Faktor 2*pi kürzt sich also raus.
MfG
 

ralfkannenberg

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Wir normieren die Strecke v*t auf 1 gemäß v*t / (2*pi*x_0) und multiplizieren noch mit 2*pi.
Ah gut: ich gehe also bei Aldi einkaufen und kaufe dort für 25 Euro ein. Nun gehe ich zur Kasse, normiere den Betrag auf 1 und gebe der Kassiererin also 1 Euro.

Das mag ja noch angehen.

Nun gehe ich zur Bank und kaufe ein paar Goldbarren; am Schalter normiere ich deren Preis auch auf 1 und ...


@Dgoe: warum darf bzw. muss man "normieren" ?


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Ha, Normieren gefällt mir immer besser.
Hallo Dgoe,

"normieren" ist der falsche Ausdruck. Ich hätte besser "skalieren" verwenden sollen (Sh..).

Tipp: Welchen Wert bekommt der Term v*t/(2*x_0*pi) mit den obigen Zahlen bei t=10s? Du hast das bereits berechnet.
Welche Bedeutung hat demnach dieser Term?
 

ralfkannenberg

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"normieren" ist der falsche Ausdruck. Ich hätte besser "skalieren" verwenden sollen
Hallo Bernhard,

ich will ja noch zuwarten, aber ich denke, "normieren" ist durchaus der richtige Ausdruck ! Denn wenn man nicht auf dem Einheitskreis weilt, so muss man noch durch den Absolutbetrag oder allgemeiner formuliert durch seine Norm dividieren.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Dgoe

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a) t=0

x = x_0 * cos(v * t / x_0)
= x_0 * cos(v * 0 / x_0)
= x_0 * cos(0 / x_0)
= x_0 * cos(0)
= x_0 * 1
= x_0
Also 100000 km, passt.

y = x_0 * sin(v * t / x_0)
= x_0 * sin(v * 0 / x_0)
= x_0 * sin(0 / x_0)
= x_0 * sin(0)
= x_0 * 0
= 0
passt.

z = 0
passt.

Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

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Tipp: Welchen Wert bekommt der Term v*t/(2*x_0*pi) mit den obigen Zahlen bei t=10s? Du hast das bereits berechnet.
Welche Bedeutung hat demnach dieser Term?

War das nicht 4.18 (müsste nachblättern oder neu rechnen). Du dividierst die Strecke nach 10 Sek. mit dem Kreisumfang und erhältst die Rundenzahl.

Gruß,
Dgoe

P.S.:
Tipp wofür?
 

Dgoe

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wegen c)
Hierfür darf ich aber die Zahlen einsetzen, sonst seh' ich da schwarz. Mache ich gleich + Skizze...

Gruß,
Dgoe
 

Bernhard

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und erhältst die Rundenzahl.
Genau. Und diese Rundenzahl ist bis auf einen Faktor 2*pi gleich dem Winkel, den der entsprechende Punkt auf dem Kreis mit dem Koordinatensystem bildet. Schau Dir dazu auch mal den Artikel zum Einheitskreis an. Das bewegte Bild zeigt sehr schön den Zusammenhang zwischen dem Winkel und den Abschnitten auf den Koordinatenachsen x und y. Danke an Ralf für den Tipp. Wird die Parametrisierung damit etwas verständlicher?
 
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Dgoe

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Wird die Parametrisierung damit etwas verständlicher?
Nun ja, so peu à peu...
Der Einheitskreis ist wirklich faszinierend - Ralf mir schon einmal gezeigt auch.
Ich war übrigens früher in Geometrie sogar mal Klassenbester, nur wenn man das dann nie wieder braucht...
Hilft aber etwas - es arbeitet, man müsste sich nur wieder intensiver damit beschäftigen und vor allem, etwas umfangreicher als früher.

Ich bin jetzt aber noch weit davon entfernt, rauf und runter beten zu können, warum und weshalb dies und jenes und anderes nicht.

Ich beschäftige mich erst mal weiter mit der Aufgabe, da ergibt sich schon einiges ganz von selber, hoffe ich. Learning by doing.

Gruß,
Dgoe

P.S.:
Leider heute kaum noch Zeit, aber kommt noch...
 

Dgoe

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c)
erst noch rechnen:
(1) dx/dt = -v*sin(v*t/x_0)
= (-150000*km/s)*sin((150000*km/s)*10*s/(100000*km))
(2) dy/dt = v*cos(v*t/x_0)
= (150000*km/s)*cos((150000*km/s)*10*s/(100000*km))
(3) dz/dt = 0
= 0 :cool:

(1) = ((-150 000) * (km / s)) * sin(((150 000 * (km / s)) * 10 * s) / (100 000 * km) radians) =
-97 543 176 m / s

(2) = (150 000 * (km / s)) * cos(((150 000 * (km / s)) * 10 * s) / (100 000 * km) radians) =
-113 953 187 m / s

(3) = 0

Na, ob das mal stimmt. (Thanks Google!)
Nun zur Skizze:

Ein xy-Koordinaten-Kreuz (oder wie man das nennt).
Dort vom Nullpunkt eine gerade Linie einzeichnen zu dem Punkt (-97 543 176, -113 953 187) und z vergessen wir mal ganz.
Man nehme am Besten ein Fußballfeldgroßes Blatt...
Oder runde ein wenig...

Ausserdem zeichne man einen Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius 100000.

Theoretisch sollte die Linie
parallel zur Tangente der Kreislinie
liegen.

Hä? Parallel? Keine Tangente selbst und selber?
Jede Gerade liegt doch parallel zu irgendeiner Tangente eines Kreises. Verstehe ich nicht.

Na gut, ich fertige mal die Skizze an, bin ja noch bei meiner Vorlage hier.

until then,

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

Registriertes Mitglied
c)
erst noch rechnen:
(1) dx/dt = -v*sin(v*t/x_0)
Na wie süss - wo kommt denn das Minuszeichen her und woher kommt der zusätzliche Faktor v ?

Machen wir mal für den zusätzlichen Faktor v einen multiple choice:

(a) Kettenregel
(b) Bilinearform
(c) innere Ableitung
(d) Skalarprodukt


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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