Frage zum Zwillingsparadoxon

ralfkannenberg

ralfkannenberg

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FrankSpecht schrieb:
Moin,

TomS schrieb:
Mir gefällt einiges an der Darstellung nicht, insbs. nicht die Verwendung der Lorentztransformation.
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ralfkannenberg schrieb:
Nun macht man eine Lorentztransformation
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könnt ihr euch mal auf eine Vorgehensweise einigen?
Ihr bringt mich ja ganz durcheinander ;)
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Hallo Frank,

ich denke, wir wollen in diesem Thread auf die Lorentztransformation verzichten.

Hier wurde aber eine zentrale Formel angesprochen:

TomS schrieb:
die zentrale Erkenntnis ist eigtl. folgende: die Eigenzeit eines Beobachters entspricht exakt der Länge seiner Weltlinie durch die vierdimensionale Raumzeit. Bei der konkreten Berechnung unter Benutzung eines Koordinatensystems wird diese Länge in infinitesimale Stückchen ds aufgeteilt; diese haben (im jeweiligen KS) einen zeitartige und einen raumartigen Anteil, d.h. der vierdimensionale Pythagoras lautet

ds[SUP]2[/SUP] = dt[SUP]2[/SUP] - dx[SUP]2[/SUP] = dt[SUP]2[/SUP](1 - dx[SUP]2 [/SUP]/ dt[SUP]2[/SUP]) = dt[SUP]2 [/SUP](1 - v[SUP]2[/SUP])

Dabei erhält man die Geschwindigkeit v aus Sicht des Beobachters, für den gerade dieses KS eingeführt wurde. Dies ist aber nur ein Artefakt der Berechnung. Die Eigenzeit als Länge der Weltlinie existiert natürlich als geometrisches Objekt unabhängig von einem KS.

Ich denke, zumindest diese eine Formel muss man verstehen, sonst führt das alles zu nichts. Dann versteht man auch, woher die Geschwindigkeit stammt, und warum keine Beschleunigung auftaucht.
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Und um diese Formel erklären zu können, woher sie kommt, wird man die Lorentztransformation verwenden müssen. Das hat aber nichts mit dem Zwillingsparadoxon zu tun, sondern mit den Grundlagen. Wobei ich an dieser noch stillschweigend die "kleinen d", also die infinitesimalen Grössen, unterschlagen habe - das ist dann noch ein Schritt weiter. Beziehungsweise statt "unterschlagen": mich auf den linearen Fall beschränkt habe.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Dgoe

Dgoe

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Oha,

vielen Dank für den Input und die Übungsaufgaben!

@Tom:
Etwas von beidem. Zu Integralen ein rudimentär aufgefrischtes zuvor längst vergessenes Schulwissen. Sollte aber gehen. Delta auch zuletzt erst kennengelernt.
Den Punkt hast Du ja erklärt, wobei ich Ableitungen auch nur rudimentär kenne. Was das Mu bedeutet, weiß ich nicht, zumal warum mal im Index und dann im Exponenten. Und a,b sind mir auch unklar, wurden nicht erwähnt, C ist ja die Kurve.

@Bernhard:
Könntest Du vielleicht im Vorfeld einmal die Vorgehensweise anhand einer konkreten Beispielaufgabe demonstrieren?

@Ralf:
Prima, sowas meinte ich! Aber wie man z. B. auf das Quadrat von x² kommt, sehe ich gerade nicht, angesichts von x*x'.

Die Äquivalenz von Geschwindigkeit und Beschleunigung, auf die Du nicht weiter eingehst, mag zwar allgemein keine große Rolle spielen, wäre hier jedoch sogar außerordentlich interessant, da genau das Schlüsselthema des Threads.

Ich bitte zudem um Nachsicht, wenn ich manchmal etwas länger brauchen sollte, da ich das zeitlich vereinbaren muss. Das Interesse bleibt jedenfalls bestehen.

Gruß,
Dgoe
 
Dgoe

Dgoe

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Hallo Ralf,

ich habe auch den Eindruck etwas missverstanden zu haben. Aber bevor wir wieder bei Null anfangen, lese ich nochmal gründlich alles durch am Besten.

Gruß,
Dgoe
 
Bernhard

Bernhard

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Dgoe schrieb:
@Bernhard:
Könntest Du vielleicht im Vorfeld einmal die Vorgehensweise anhand einer konkreten Beispielaufgabe demonstrieren?
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Es gilt ein verallgemeinertes "Kurvenintegral" (s. Wikipedia) zu berechnen und da benötigt man als erstes eine geeignete Parametrisierung der Kurve. Wähle hier als Parameter die Zeit t des Inertialsystems. Die "bewegte" Uhr (Anführungszeichen für Ich) wird dann durch einen Punkt repräsentiert, der mit der Zeit t hin und her wandert.

Es geht also zuerst darum die drei Funktionen x(t), y(t) und z(t) für Ü1 und Ü2 zu finden. Ich denke bei Ü1 ist das sehr einfach. Kannst Du diese drei Funktionen für Ü1 konkret hinschreiben?
 
TomS

TomS

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Bernhard schrieb:
Bei mir gibt es die SRT nur inklusive LT.
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Bei mir auch.

Aber im Falle der Zeitdilatation ist die Lorentztransformation eine (leider) weit verbreitete, jedoch didaktisch irreführende Herangehensweise!!

Die Lorentztransformation rechnet Koordinaten zwischen Inertialsystemen um.
Die Zeitdilatation beschreibt den unterschiedlichen Gang zweier Eigenzeiten (Uhren) in zwei i.A. nicht-Inertialsystemen.

Sorry, aber ich dachte, diese Botschäft ware längst angekommen.


ralfkannenberg schrieb:
Und um diese Formel erklären zu können, woher sie kommt, wird man die Lorentztransformation verwenden müssen.
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Nein, ich sehe das genau anders herum. Die RT startet mit dem Linienelementes ; daraus folgt in der SRT gerade die LT. In der ART ist das Linienelement ebenfalls primär, es gibt jedoch keine (globale) LT; sie ist sinnlos bzw. nicht definierbar.
 
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ralfkannenberg

ralfkannenberg

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TomS schrieb:
Aber im Falle der Zeitdilatation ist die Lorentztransformation eine (leider) weit verbreitete, jedoch didaktisch irreführende Herangehensweise!!

Die Lorentztransformation rechnet Koordinaten zwischen Inertialsystemen um.
Die Zeitdilatation beschreibt den unterschiedlichen Gang zweier Eigenzeiten (Uhren) in zwei i.A. nicht-Inertialsystemen.
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Hallo Tom,

ich sehe jetzt nicht, was daran irreführend sein soll: die Lorentztransformation beschreibt einfach einen Spezialfall, nämlich denjenigen, in dem die Geschwindigkeiten der Koordinatensysteme eben konstant sind, man also einen linearen Ansatz tätigen kann.

Wenn man den allgemeinen Fall berechnen will, dann muss man eben kompliziertere Formeln anwenden.

Und der "Nullfall" ist eben noch mehr ein Spezialfall, bei dem die Lorentztransformation und die Galileotransformation zusammenfallen.

Also wenn ich didaktisch vorgehen müsste, so würde ich mit dem "Nullfall" anfangen, zumal dieser die klassische Physik abdeckt, dann auf den linearen Fall verallgemeinern, also konstant bewegter Koordinatensysteme, in dem die Lorentztransformation zur Anwendung kommt, und erst als dritten Schritt dann den allgemeinen Fall erwähnen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
ralfkannenberg

ralfkannenberg

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TomS schrieb:
Nein, ich sehe das genau anders herum. Die RT startet mit dem Linienelementes ; daraus folgt in der SRT gerade die LT. In der ART ist das Linienelement ebenfalls primär, es gibt jedoch keine (globale) LT; sie ist sinnlos bzw. nicht definierbar.
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Hallo Tom,

das kann man natürlich tun, aber dann geht meines Erachtens der algebraische Ansatz verloren, d.h. man sieht dann nicht mehr, woher diese Formelbildung kommt, also dass da letztlich zwei "Längen" in der Raumzeit "gleich" bleiben.

Das ganze erinnert mich ein bisschen daran, wie man reelle Zahlen definiert: natürlich kann man das axiomatisch sehr schön mit den Dedekind'schen Schnitten definieren, die "kein Schwein" beim ersten Mal anschauen versteht (und beim zweiten Mal anschauen auch nicht), oder man geht von einem dichten Körper aus und vervollständigt den mit Cauchy-Folgen. Aber ja: wirklich "schön" ist der Weg via den Cauchy-Folgen natürlich nicht, während die Dedekind'schen Schnitte das ganze letztlich auf den "für alle gilt"-Operator im 4.Postulat hinunterbrechen, dem man dann "ansehen" kann, dass das Kontinuum vorliegt.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
TomS

TomS

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ralfkannenberg schrieb:
Hallo Tom,

ich sehe jetzt nicht, was daran irreführend sein soll: die Lorentztransformation beschreibt einfach einen Spezialfall, nämlich denjenigen, in dem die Geschwindigkeiten der Koordinatensysteme eben konstant sind, man also einen linearen Ansatz tätigen kann.
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Der Punkt ist, dass die LT nur auf Koordinatenzeiten anwendbar ist, während die Zeitdilatation für Eigenzeiten gilt, und diese existieren unabhängig davon, ob du ein (globales) Inertialsystem festlegst oder nicht. Aus dieser ganzen Vorgehenswiese mit LT usw. resultiert letztlich der irrige Eindruck, das Paradoxon würde sich durch die Beschleunigung am Umkehrpunkt auflösen, denn alles andere ist ja "symmetrisch" oder "relativ". Und es gibt sogar Studenten, die letztlich den Unterschied zwischen Koordinaten- und Eigenzeit nicht verstanden haben (weil man durch die Brille LT den Unterschied auch nie verstehen kann).


Diese ganze Argumentation ist letztlich daran schuld, dass es Diskussionen wie diese überhaupt gibt.

Wenn man in der SRT die Eigenzeit als geometrische Invariante Länge einführt und nie über LT redet (!!) dann gibt es kein Paradoxon, das man lösen müsste; niemand käme im entferntesten auf die Idee, es sei paradox, dass es von München direkt nach Hamburg kürzer ist, als von München über Paris und dann nach Hamburg.

(anschließend kann man sich dann an LTs erfreuen)
 
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Dgoe

Dgoe

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ralfkannenberg schrieb:
ähm ... - kannst Du mir das mal erklären ? Ich will nicht ausschliessen, dass Du das richtige meinst.
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Hallo Ralf,

nein, vielleicht meine ich ja gar nicht das Richtige und Du erklärst es mir, wenn Du magst.

Edit:
Ok, sorry, ich war vorhin etwas im Stress, ich schau mir gleich alles nochmal in Ruhe an.

Gruß,
Dgoe
 
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I

Ich

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TomS schrieb:
ralfkannenberg schrieb:
Und um diese Formel erklären zu können, woher sie kommt, wird man die Lorentztransformation verwenden müssen.
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Nein, ich sehe das genau anders herum. Die RT startet mit dem Linienelementes ; daraus folgt in der SRT gerade die LT. In der ART ist das Linienelement ebenfalls primär, es gibt jedoch keine (globale) LT; sie ist sinnlos bzw. nicht definierbar.
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Ich sehe das wie Tom. Die LT kommen historisch gesehen vor der Raumzeitgeometrie und der Metrik, das ist richtig. In diesem Sinne folgt letztere aus ersteren.
Allerdings ist jetzt 2015, und dieser Übergang zur raumzeitlichen Betrachtung erfolgte 1909. Ich denke, mittlerweile hat sich weitgehend durchgesetzt, dass Physik durch kovariante geometrische Objekte ausgedrückt wird, also Ereignisse und Kurven, Vektoren und Tensoren (bzw. Felder aus solchen). Das alles existiert einfach, unabhängig von Bezugs- und Koordinatensystemen oder Betrachtungsweisen.

Eine wichtige Eigenschaft der Geometrie ist natürlich die Metrik, dort ist die ungewöhnliche Physik der RT kodiert. Und wie gesagt es ist richtig, dass sie historisch und empirisch gesehen aus den LT erschlossen wurde. Mathematisch, logisch und konzeptuell ist es aber sinnvoller, die LT einfach als die Symmetrieoperationen dieser Metrik aufzufassen und aus ihr herzuleiten (das ist Minkowskis berühmter Treppenwitz).
Diese Symmetrie ist: Drehungen und Verschiebungen lassen die Physik unverändert, genauso wie sie in 3D einen beliebigen Körper unverändert lassen. Und diese Drehungen sind eben die LT. Das konzeptuell wichtige an ihnen ist nicht, wie sie die Koordinatenwerte verändern, sondern dass sie eigentlich alles unverändert lassen.
Von daher braucht man sie nicht unbedingt, wenn man etwas rechnen will, sie fügen nichts Neues hinzu. Sie werden erst sehr wichtig, wenn man von 4D auf die althergebrachte 3D-Physik übersetzen will.
 
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