Mal eine Frage: Die englische Wikipedia fordert nicht, dass eine Metrik positiv definit ist. Ist das denn wirklich in Stein gemeißelt mit dieser Forderung?
Frage zum Zwillingsparadoxon
- Ersteller sanchez
- Erstellt am
ralfkannenberg
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Hallo Ich,
es ist durchaus möglich, dass sich der Lehrplan der Mathematik seit dem Jahre 1988 in dieser Angelegenheit geändert hat. Sinn machen würde es aber nicht.
Zudem bezieht sich der von Dir genannte Wikipedia-Artikel auf einen metrischen Tensor und nicht auf eine Metrik.
Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt bearbeitet:
ralfkannenberg
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Hallo Ich,
ich will vielleicht "dasselbe nochmal in grün" formulieren: die positive Definitheit ist ja letztlich gleichbedeutend damit, dass ein Skalarprodukt vorliegt. Ein solches wird beispielsweise bei einem Hilbertraum benötigt bzw. per definitionem gefordert.
Und tatsächlich ist es nicht unbedingt "schön", wenn man zwei Punkte hat, die verschieden sind und trotzdem voneinander einen "Abstand" 0 aufweisen.
Gewiss, man kann hier das ganze geeignet verallgemeinern und versuchen, auf gewisse Voraussetzungen zu verzichten, aber eben, es kommt dann darauf an, was zur Anwendung kommen soll. Ist eine hinreichend gutartige Bilinearform "genügend" oder braucht man das volle Skalarprodukt ? - In der Relativitätstheorie ist eben die hinreichend gutartige Bilinearform genügend.
Freundliche Grüsse, Ralf
Bernhard
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
. Ich nenne diese Funktion also lieber Minkowski-Bilinearform und bitte auch zukünftig um Korrektur in dieser Hinsicht. Mehr brauche ich für Dgoes Übungsaufgabe momentan eh nicht.
MfG
die Mathematiker haben da natürlich ihre metrischen Räume und man kann ja schlecht verlangen, dass sämtliche Lehrbücher und Vorlesungsskripte wegen der Faulheit der oder eines Physiker(s) nachträglich geändert werden sollen
. Ich nenne diese Funktion also lieber Minkowski-Bilinearform und bitte auch zukünftig um Korrektur in dieser Hinsicht. Mehr brauche ich für Dgoes Übungsaufgabe momentan eh nicht.MfG
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
an sich ist mir diese Frage etwas zu "dogmatisch" gestellt. Es ist so, dass wenn ein Skalarprodukt vorliegt, also eine Metrik definiert ist, dass dann eben gewisse Gesetze gelten.
Diese Gesetze können aber durchaus auch gelten, wenn "nur" eine hinreichend gute Bilinearform vorliegt - oftmals ist es auch so, dass dann eine "schwache" Variante eines solchen Gesetzes gültig ist, welche aber in der betrachteten Anwendung völlig ausreichend ist.
Der einzige Unterschied ist letztlich nur der, dass man ggf. nicht auf bestehenden Gesetze, in denen eine Metrik gefordert ist, zurückgreifen kann, sondern dass man sich möglicherweise schwächere Varianten der Gesetze, die man benötigt, eben selber herleiten muss.
Schlimm wird es nur, wenn man auf ein Gesetz zurückgreift, welches eine Metrik benötigt, man aber gar keine Metrik hat und und das nicht bemerkt - dann wird man im Allgemeinen ein unzutreffendes Resultat erhalten.
Aber wenn man das mit anderen Resultaten absichern kann - kein Problem.
Freundliche Grüsse, Ralf
Bernhard
Registriertes Mitglied
Hallo Ralf,
das liegt schlicht daran, dass es sich bei dem Zitat um keine Frage, sondern eher um eine Meinung, bzw. die Beschreibung einer Erfahrung handelt
.MfG
Ich denke, dieser Satz hier klärt die Geschichte einigermaßen:
Wir haben also zwei Bedeutungen des Wortes, einmal allgemein aus der Mengenlehre und zum anderen speziell auf Differentialgeometrie bezogen. Im ersten Fall wird positive Definitheit gefordert, im zweiten Fall nicht. Zur Unterscheidung oder aus Purismus wird angeregt, letzteres den "metrischen Tensor" zu nennen. Was mich nicht daran hindern wird, weiterhin einfach Metrik zu sagen, wenn ich ebendieses Tensorfeld oder eine Koordinatenrepräsentation davon meine.
Bernhard
Registriertes Mitglied
...macht man in der Grundschule. In diesem Fall "schimpft" sich das Algebra
.wobei auch in der Diff.geo Tensorfelder als ortsabhängige Linearformen definiert werden. Mit "Minkowski-Form" hätte man also theoretisch wieder beide Fälle.
Die "Minkowski-Metrik" führt in der physikalischen Literatur meines Wissens sogar eine Art Zwitterrolle, weil man da zur Unterscheidung von Vierervektoren in raum-, zeit- und lichtartig auch schon mal die "Minkowski-Metrik" verwendet.
In einem Fachvortrag an der Uni wird vermutlich auch heute noch jeder "Minkowski-Metrik" stillschweigend in beiden Kontexten akzeptieren. Wir haben speziell hier aber das Problem, dass man nicht unter sich ist. Insofern kann man schon darüber nachdenken den Sprachgebrauch der Umgangssprache weitgehend anzupassen und in speziellen Fällen möglichst allgemein verständlich zu formulieren
.
TomS
Registriertes Mitglied
Die Mathematiker sprechen von pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Der metrische Tensor g ist nicht ausgeartet.
Ein Spezialfall sind Lorentzsche Mannigfaltigkeiten, für die der metrische Tensor die Signatur (-1,+1,+1,...) hat; teilweise auch entgegengesetzte Vorzeichenkonvention.
Wiederum ein Spezialfall ist der flache Minkowski-Raum R[SUP]1,3[/SUP] mit metrischem Tensor g = diag(-1,+1,+1,+1). Für eine Lorentsche Mannigfaltigkeit kann in jedem Punkt P ein Tangentialraum TP konstruiert werden, der gerade einem Minkowski-Raum entspricht.
Der metrische Tensor muss nicht positiv definit sein. Ist er es, so liegt eine Riemannsche Mannigfaltigkeit vor, die Signatur ist dann (+1,+1,...).
Im Falle pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten wird die Forderung nach positiver Definitheit durch die schwächere Forderung ersetzt, dass der metrische Tensor g nicht ausgeartet ist; g ist dann nicht ausgeartet, wenn die durch g definierte Bilinearform (x,y) = g[SUB]ab [/SUB]x[SUP]a [/SUP]y[SUP]b[/SUP] exakt Null ist für alle y genau dann wenn x gleich Null ist. Es liegt damit aber kein Skalarprodukt vor, denn ein Skalarprodukt ist per definitionem positiv definit.
Ein Spezialfall sind Lorentzsche Mannigfaltigkeiten, für die der metrische Tensor die Signatur (-1,+1,+1,...) hat; teilweise auch entgegengesetzte Vorzeichenkonvention.
Wiederum ein Spezialfall ist der flache Minkowski-Raum R[SUP]1,3[/SUP] mit metrischem Tensor g = diag(-1,+1,+1,+1). Für eine Lorentsche Mannigfaltigkeit kann in jedem Punkt P ein Tangentialraum TP konstruiert werden, der gerade einem Minkowski-Raum entspricht.
Der metrische Tensor muss nicht positiv definit sein. Ist er es, so liegt eine Riemannsche Mannigfaltigkeit vor, die Signatur ist dann (+1,+1,...).
Im Falle pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten wird die Forderung nach positiver Definitheit durch die schwächere Forderung ersetzt, dass der metrische Tensor g nicht ausgeartet ist; g ist dann nicht ausgeartet, wenn die durch g definierte Bilinearform (x,y) = g[SUB]ab [/SUB]x[SUP]a [/SUP]y[SUP]b[/SUP] exakt Null ist für alle y genau dann wenn x gleich Null ist. Es liegt damit aber kein Skalarprodukt vor, denn ein Skalarprodukt ist per definitionem positiv definit.
Dgoe
Gesperrt
v² = (0)² + (0)² + (0)² = 0
$$\tau = \int_0^{10}\sqrt{1-\frac{0}{c^2}}dt$$
$$\tau = \int_0^{10}\sqrt{1-0}dt$$
$$\tau = \int_0^{10}1dt$$
...
mache nachher weiter...
Gruß,
Dgoe
Bernhard
Registriertes Mitglied
Gerne. Der Dreizeiler sieht schon recht vielversprechend aus.
Man kann an Ü1 noch eine interessante Frage anhängen:
Ü1a) Ändert sich an dem Ergebnis von Ü1 etwas, wenn sich die Uhr nicht im Koordinatenursprung, sondern an einem beliebigen aber festen Ort mit den Koordinaten (x_p, y_p, z_p) befindet? Der Index p steht dabei lediglich für Punkt. Man kann auch diese Frage mit einer Rechnung konkret beantworten.
Dgoe
Gesperrt
Bernhard
Registriertes Mitglied
Korrekt. Das gibt dann 2 von 10 Punkten
.Korrekt. 3 von 10 Punkten, falls Du die zugehörige Rechnung hinschreiben könntest, wovon ich mal ausgehe.
EDIT: Man kann das Gesamtergebnis von Ü1 und Ü1a zusammen als \( \tau = t \) hinschreiben und sieht, dass ruhende Uhren an jeder Stelle des Inertialsystems (IS) die Systemzeit t anzeigen.
Wie willst Du weiter machen? Ü1a noch konkret durchgehen oder mit Ü2 weitermachen oder pausieren?
Zuletzt bearbeitet:
Dgoe
Gesperrt
Habe ich sogar im Kopf ausgerechnet!Korrekt. Das gibt dann 2 von 10 Punkten
Eben nicht, deshalb war meine Antwort auch eher rhetorisch.
Hier ist zwar gerade Karneval... aber egal. Mir wird schon noch was einfallen, etwas Humor unterzukriegen.
Ich schaue mir die Aufgaben erst nochmal etwas ernsthafter an, ich glaube noch Fragen zu haben...
Gruß,
Dgoe
Dgoe
Gesperrt
Ach so, ja:
Die Ableitung von einer Zahl (Konstanten) ist ja wieder 0, weil die tangentielle Steigung schon wieder 0 ist.
Also wird aus beispielsweise
x(t)=3, y(t)=4, z(t)=5
dx/dt=0
dy/dt=0
dz/dt=0
eben 0 Geschwindigkeit.
Der Rest der Rechnung ist danach ja identisch.
Gruß,
Dgoe
Die Ableitung von einer Zahl (Konstanten) ist ja wieder 0, weil die tangentielle Steigung schon wieder 0 ist.
Also wird aus beispielsweise
x(t)=3, y(t)=4, z(t)=5
dx/dt=0
dy/dt=0
dz/dt=0
eben 0 Geschwindigkeit.
Der Rest der Rechnung ist danach ja identisch.
Gruß,
Dgoe
Zuletzt bearbeitet:
Dgoe
Gesperrt
Das sagt sich so leicht.
Also z ist ja aus dem Rennen, aber für die xy-Ebene muss was her...
Gruß,
Dgoe
P.S.
@Ralf: auf die Basis komme ich noch, irgendwie hab ich da aber ein déjà-vu, das hattest Du doch vor kurzem schon mal irgendwo gefragt!?
Zuletzt bearbeitet:
Bernhard
Registriertes Mitglied
Völlig richtig erkannt. Das ist der schwierigste Teil der Aufgabe. Man kann sich da aber langsam heran arbeiten und dafür bietet sich Ü2a an, sozusagen als Vorbereitung.
Ü1 ist jetzt übrigens komplett gelöst (volle 3 Punkte).
So würde ich das nicht sagen. Für die Berechnug der Geschwindigkeit brauchen wir z(t), nur hat diese Funktion erneut eine recht einfache Form.
Richtig. Löse aber vielleicht erst a). Da bekommt man die nötigen Begriffe um b zu lösen.
Tipp:
Welchen Weg muss das Raumschiff für einen Umlauf zurücklegen?
Wie schnell ist es?
Welche Zeit benötigt es für einen Umlauf?
Über welche Formel werden diese drei Zahlen miteinander verknüpft?
MfG
Dgoe
Gesperrt
für Ü2b)
würde ich den Spezialfall
$$\Delta \tau = \tau_1(1-\sqrt{1-v_2^2})$$
von Tom verwenden, weil er für eine Kreisbahn mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag geeignet ist.
$$\Delta \tau = \tau_1(1-\sqrt{1-(150000 km/s)^2})$$
...
Fortsetzung folgt
Gruß,
Dgoe
würde ich den Spezialfall
$$\Delta \tau = \tau_1(1-\sqrt{1-v_2^2})$$
von Tom verwenden, weil er für eine Kreisbahn mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag geeignet ist.
$$\Delta \tau = \tau_1(1-\sqrt{1-(150000 km/s)^2})$$
...
Fortsetzung folgt
Gruß,
Dgoe
Zuletzt bearbeitet:
Bernhard
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
Ferner wollte ich auch zeigen, wie man bei Ü2 den Geschwindigkeitsvektor berechnet. Man kann das Ergebnis dann über die Betragsbildung sehr schön auf Richtigkeit testen. Man muss da etwas mit den trigonometrischen Funktionen spielen, denen man als Physiker oder Techniker immer wieder begegnet. Falls Dich das interessiert können wir das gemeinsam zusammenstellen.
MfG
man kennt zwar bereits den Betrag der Geschwindigkeit, aber bei der Auswahl der Formel muss man aufpassen, denn ich hatte ja nach der absoluten Bordzeit gefragt. Toms Formel berechnet aber die Differenz zwischen zwei Uhrzeiten. Du musst also die gleiche Formel, wie bei Ü1 zur Berechnung von \(\tau\) verwenden. Der Vergleich zwischen der ruhenden Uhr und der Borduhrzeit geht dann schon über die gestellte Übungsaufgabe hinaus, ergibt sich aber zuletzt mit einer simplen Subtraktion der beiden Ergebnisse.
Ferner wollte ich auch zeigen, wie man bei Ü2 den Geschwindigkeitsvektor berechnet. Man kann das Ergebnis dann über die Betragsbildung sehr schön auf Richtigkeit testen. Man muss da etwas mit den trigonometrischen Funktionen spielen, denen man als Physiker oder Techniker immer wieder begegnet. Falls Dich das interessiert können wir das gemeinsam zusammenstellen.
MfG