Frage zum Zwillingsparadoxon

ralfkannenberg

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Mathematisch, logisch und konzeptuell ist es aber sinnvoller, die LT einfach als die Symmetrieoperationen dieser Metrik aufzufassen und aus ihr herzuleiten
Hallo Ich, hallo Tom,

selbstverständlich, ich bin vollumfänglich einverstanden. Wenn es aber darum geht, diese Inhalte einem Laien zu vermitteln, dann kann man dieses Wissen m.E. nicht voraussetzen.

Diese Symmetrie ist:
Grundsätzlich würde ich es sogar sehr begrüssen, wenn man die gesamte Physik aus geeigneten Symmetrien herleiten könnte, das hätte dann auch den Vorteil, dass man sie auch "philosophisch" begründen kann.

Drehungen und Verschiebungen lassen die Physik unverändert
An die Laien: mathematisch heisst das, dass gewisse Bilinearformen - wenn sie sogar positiv definit sind, Skalarprodukte - eben unter Anwendung dieser Abbildungen wie Drehungen und Verschiebungen, manchmal sind es auch Spiegelungen, unverändert bleiben.

Deswegen reite ich ja auch so penetrant auf diesen beiden Begriffen der Bilinearform und des Skalarproduktes herum.

Und diese Drehungen sind eben die LT. Das konzeptuell wichtige an ihnen ist nicht, wie sie die Koordinatenwerte verändern, sondern dass sie eigentlich alles unverändert lassen.
Genau !

Danke für diese sehr schöne und übersichtliche und auch laiengerechte Zusammenfassung.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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und ich glaube, das können wir an dieser Stelle auch abbrechen, was mich betrifft.
Hallo Dgoe,

ich weiß, das sieht am Anfang aus wie chinesische Schriftzeichen, nicht wahr? Der Witz daran, dass man es eben genau so auch angehen muss. Man muss jedes einzelne Symbol und Zeichen in die eigene Sprache übersetzen. Dann ist alles halb so wild und ich würde Dir ansatzweise gerne zeigen, wie das geht.

x(t)=0, y(t)=0, z(t)=0 ?
Genau. Und der nächste Schritt ist auch nicht viel schlimmer. Wir benötigen die Ableitungen dieser Funktionen nach t und erhalten die drei räumlichen Geschwindigkeitskomponenten der Uhr.

EDIT: Wenn Du willst, kannst Du Dir jetzt überlegen, was dx/dt, dy/dt und dz/dt in diesem Fall ist. Du musst dazu nur die drei Funktionen nach t ableiten.
 
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ralfkannenberg

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@Ralf:
Dann befindet sich zwischen den 2 Punkten P1 und P2 kein Vektor?
Hallo Dgoe,

o jeh, daran bin ich nun schuld - ich habe zu stark vereinfacht.

Diese "Punkte" sind selbstverständlich auch Vektoren; ich wollte damit nur kennzeichnen, dass ich die "Punkte" nicht als unübersichtliche Komponenten ausschreibe und die "Vektoren" indes als Komponenten ausschreibe. Gemeint ist aber dasselbe.

In der linearen Algebra gibt es ja in dem Sinne keine Punkte, sondern nur einen "Punkt", nämlich den Nullvektor.

Dass es in der Linearen Algebra ausser dem Nullvektor keine Punkte gibt kommt daher, dass ja wegen der Linearität jeder Vektor durch den Nullpunkt gehen muss. Das gilt dann auch für den Nullvektor, der vom Nullpunkt bis zum Nullpunkt reicht und entsprechend eine Länge 0 hat.

Also: die Argumente der Bilinearform sind Vektoren und keine Punkte. Schliesslich sind wir in einem Vektorraum und nicht auf einem Standpunkt, welcher ja bekanntlich einen geistigen Horizont vom Radius ... - äh, lassen wir das.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

TomS

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Die LT kommen historisch gesehen vor der Raumzeitgeometrie und der Metrik, das ist richtig. In diesem Sinne folgt letztere aus ersteren.
Allerdings ist jetzt 2015, und dieser Übergang zur raumzeitlichen Betrachtung erfolgte 1909. Ich denke, mittlerweile hat sich weitgehend durchgesetzt, dass Physik durch kovariante geometrische Objekte ausgedrückt wird, also Ereignisse und Kurven, Vektoren und Tensoren (bzw. Felder aus solchen). Das alles existiert einfach, unabhängig von Bezugs- und Koordinatensystemen oder Betrachtungsweisen.

Eine wichtige Eigenschaft der Geometrie ist natürlich die Metrik, dort ist die ungewöhnliche Physik der RT kodiert. Und wie gesagt es ist richtig, dass sie historisch und empirisch gesehen aus den LT erschlossen wurde. Mathematisch, logisch und konzeptuell ist es aber sinnvoller, die LT einfach als die Symmetrieoperationen dieser Metrik aufzufassen und aus ihr herzuleiten (das ist Minkowskis berühmter Treppenwitz).
Ausdrucken, einrahmen, an die Wand hängen und an ganz ganz viele Verlage und Lehrbuchautoren verteilen!!


Hallo Ich, hallo Tom,

selbstverständlich, ich bin vollumfänglich einverstanden. Wenn es aber darum geht, diese Inhalte einem Laien zu vermitteln, dann kann man dieses Wissen m.E. nicht voraussetzen.
Richtig, man kann dieses Wissen nicht voraussetzen.

Weil man aber sozusagen eine tabula rasa vor sich hat, sollte man sie nach physikalisch sinnvollen Kriterien beschreiben, und das bedeutet gerade nicht das Nachzeichnen der hisstorischen Entwicklung um jeden Preis, sondern der Fokus auf die heute etablierte Methodik. Ich fange bei Null an, d.h. ich muss LT und Zeitdilatation erklären. Anstatt sich nun seitenweise an Raumschiffen und an 1 - 0.8² = 0.6² zu erfreuen, sollte man mal überlegen, was den didaktisch sinnvoll ist. Und da gibt es einen falschen und einen richjtigen Weg:

Nicht sinnvoll: Inertialsysteme einführen, LT einführen, rumrechnen, ..., behaupten, dass die Zeitdilatation ein Spezialfall der LT ist

Sinnvoll:Eigenzeit einführen, Beispiele für Zeitdilatation anführen, Inertialsysteme einführen, Zeitdilatation motivieren oder mittels Kurvenintegral berechnen, LT einführen, Invarianz des Linienelementes zeigen, zeigen, dass die LT in Spezialfällen zur Berechnung der Zeitdilatation verwendet werden kann

Also genau umgekehrt wie leider üblich!
 
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Herr Senf

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Aber muß man dann nicht auch mitteilen, daß
die "Metrik" der Physik nicht "Die" Metrik der Mathematik ist.
Senf ?
 

Dgoe

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Danke für diese sehr schöne und übersichtliche und auch laiengerechte Zusammenfassung.
Dem schließe ich mich an!

das sieht am Anfang aus wie chinesische Schriftzeichen, nicht wahr?
Na ja, könnten auch Klingonische sein...

[...] Dann ist alles halb so wild und ich würde Dir ansatzweise gerne zeigen, wie das geht.
Au ja!

was ist dx/dt, dy/dt und dz/dt?
In progress...

Ausdrucken, einrahmen, an die Wand hängen
In progress...

Sinnvoll:Eigenzeit einführen, Beispiele für Zeitdilatation anführen, Inertialsysteme einführen, Zeitdilatation motivieren oder mittels Kurvenintegral berechnen, LT einführen, Invarianz des Linienelementes zeigen, zeigen, dass die LT in Spezialfällen zur Berechnung der Zeitdilatation verwendet werden kann
Die grüne Farbe gefällt mir intuitiv besser als die rote. :)

@Ralf:
Irgendwie bin ich jetzt genau so schlau wie vorher.

Ein Punkt kann ja alles mögliche sein, beispielsweise ein Quadrat oder ein Würfel mit den Längen 0.

Ich dachte zuletzt jedoch an einen Vektor, der bei P1 anfängt und bei P2 endet.

Gruß,
Dgoe
 
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ralfkannenberg

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Irgendwie bin ich jetzt genau so schlau wie vorher.

Ein Punkt kann ja alles mögliche sein, beispielsweise ein Quadrat oder ein Würfel mit den Längen 0.

Ich dachte zuletzt jedoch an einen Vektor, der bei P1 anfängt und bei P2 endet.
Hallo Dgoe,

wir definieren jetzt den "Punkt" in einem Vektorraum sauber:

Ein Punkt P eines Vektorraumes sei ein Vektor, der bei 0 anfängt und bis zum geometrischen Punkt P reicht.

Insbesondere fangen alle Vektoren in der linearen Algebra im Nullpunkt an !


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Dgoe

Gesperrt
was dx/dt, dy/dt und dz/dt in diesem Fall ist.
BINGGG!

just finished computing.

Results:

dx/dt=0, dy/dt=0 und dz/dt=0

Edit:
Moment, hab gerade gemerkt, dass sich der Input etwas geändert hat um 17.07 Uhr,

wir wollen nach t ableiten (t=10)

computing in progress...

Gruß,
Dgoe
 
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Bernhard

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Moment, hab gerade gemerkt, dass sich der Input etwas geändert hat um 17.07 Uhr,
Lass Dich da mal nicht zu sehr verwirren. Ich verrate deshalb einfach mal, dass Du das Ergebnis bereits korrekt hingeschrieben hast. Zusätzlich will ich aber wissen, wie Du darauf gekommen bist und wie man dieses Ergebnis überprüfen kann. Es gibt da also zwei Wege, die sich gegenseitig ergänzen.
 

Dgoe

Gesperrt
wie Du darauf gekommen bist
Nun, ich koche ja auch nur mit Wasser - und Du hattest nach der 1. Ableitung gefragt - ebens nachgeblättert ist die von f(x)=0 eben auch 0, wie vermutet bei den ganzen Nullnummern.

Klar, is ja die x-Achse selber, und die hat dauernd eine tangentielle Steigung von 0.

Überprüfen? Hmm, mach ich nie... *scherz*

Gruß,
Dgoe
 

Bernhard

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wie vermutet bei den ganzen Nullnummern.
Sehr gut. So wird es gemacht. Man rechnet das Ergebnis aus und überlegt sich dann, ob das Ergebnis auch Sinn macht. Bei Ü1 ist das besonders einfach, aber deswegen auch besonders übersichtlich, bzw. nachvollziehbar. Bei einem ruhenden Körper muss die Geschwindigkeit natürlich gleich Null sein, genau so wie es die Rechnung auch ergibt. Das Besondere hier ist, dass wir die Geschwindigkeit als Vektor bekommen:
v_x = dx / dt = 0,
v_y = dy / dt = 0,
v_z = dz / dt = 0
Wir haben hier prinzipiell also eine Richtung der Geschwindigkeit. Die Länge des Vektors gibt den Absolutbetrag der Geschwindigkeit (bei Technikern in m/s) an und die brauchen wir jetzt.

Es gilt: v² = (v_x)² + (v_y)² + (v_z)²

Das ist das bekannte euklidische Skalarprodukt des dreidimensionalen Unterraumes.

Du kannst jetzt weiterrechnen und das Ergebnis ausrechnen:
$$\tau = \int_0^{10}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt$$
Rechne zuerst v² aus, dann die Wurzel und dann das Integral.
 

ralfkannenberg

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Es gilt: v² = (v_x)² + (v_y)² + (v_z)²

Das ist das bekannte euklidische Skalarprodukt des dreidimensionalen Unterraumes.
Zwischenruf:

Warum darf, ja sogar muss Dgoe hier das Standard-Skalarprodukt verwenden ? Wir rechnen doch sonst mit der Minkowski-Raumzeit-Bilinearform !


Tipp:
Das ist eine Fangfrage ! Welchem Raum entstammen die Geschwindigkeitsvektoren ? Vielleicht einfacher: benenne mir bitte eine Basis des Raumes der Geschwindigkeits-Vektoren.

Tipp:
Eine sehr einfache Basis hat Bernhard bereits indirekt aufgeschrieben, aber schreibe sie vielleicht mal in Vektorschreibweise auf.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Warum darf, ja sogar muss Dgoe hier das Standard-Skalarprodukt verwenden ? Wir rechnen doch sonst mit der Minkowski-Raumzeit-Bilinearform !
Hallo Ralf,

zur Beantwortung dieser Frage muss man doch etwas in die Details gehen, deswegen helfe ich mal mit:

1) Die zweite Formel in Toms FAQ gilt nur für Inertialsysteme.
2) "Inertialsystem" ist ferner gleichbedeutend damit, dass man als Metrik die Minkowski-Metrik verwendet. (Was da zuerst da war, ist ja wohl eher von historischem Interesse)
3) Der Minkowski-Raum enthält einen dreidimensionalen, euklidischen Untervektorraum mit Standardskalarprodukt
4) Die zu berechnende Geschwindigkeit ist ein Element dieses dreidimensionalen Untervektorraumes

Wegen 4) muss man zur Berechnung des Betrages der Geschwindigkeit das Standardskalarprodukt des dreidimensionalen Untervektorraumes verwenden.

EDIT: 5) Die mathematisch korrekte Formulierung dieser Punkte überlasse ich vorerst denjenigen, die das besser können als ich :) .
MfG
 
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ralfkannenberg

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2) "Inertialsystem" ist ferner gleichbedeutend damit, dass man als Metrik die Minkowski-Metrik verwendet.
Einfach, um puristisch zu bleiben, Herr Senf hatte da ja auch schon darauf hingewiesen:

diese Metrik ist keine Metrik, weil sie nicht positiv definit ist.


In der Wikipedia habe ich dazu noch folgenden hübschen Satz gefunden:

Der metrische Tensor η[sub]μν[/sub] wird im physikalischen Sprachgebrauch auch einfach als Minkowski-„Metrik“ oder flache „Metrik“ der Raumzeit bezeichnet, obwohl er im eigentlichen Sinne nicht mit der Metrik an sich zu verwechseln ist. Es handelt sich mathematisch vielmehr um ein Skalarprodukt auf einer pseudoriemannschen Mannigfaltigkeit.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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