Hallo Ralf,
da ich diese Diskussion im verlinkten Thema mit angeregt habe, möchte ich die Thematik hier grob zusammenstellen.
In der klassischen Mechanik (relativistisch und nichtrelativistisch) kann man für ein freies Teilchen eine Lagrange-Funktion angeben. Diese Lagrange-Funktion hängt nur von der Geschwindigkeit des Teilchens ab. Daraus läßt sich dann die Energie- und Impulserhaltung bei der Bewegung des Teilchens ableiten. Die Details dazu kann man in Mechanik-Lehrbüchern nachlesen.
Ein anderer Aspekt liegt in der Struktur der Poincare-Gruppe. Diese Gruppe entspricht der Lorentzgruppe erweitert um raumzeitliche Translationen. Die Poincare-Gruppe ist zehndimensional und zusätzlich eine Lie-Gruppe. Dies bedeutet wiederum, dass über die exp-Funktion jedes Element der Gruppe durch ein Element der zugehörigen Lie-Algebra dargestellt werden kann. In der Quantenmechanik funktioniert das relativ direkt, wenn man einmal von einigen physikalischen Konstanten absieht. So wirkt beispielsweise der Operator exp(iHt) tatsächlich als Zeitverschiebungsoperator auf die Zustände des Hilbertraumes der schrödingerschen Mechanik, also den quadratintegrablen Funktionen.
In der klassischen Mechanik finde ich diesen unmittelbaren Zusammenhang zwischen der Hamilton-Funktion und einer Translation in der Zeit formal weniger direkt. An die Stelle der e-Funkion treten hier vielmehr die hamiltonschen Bewegungsgleichungen. Man könnte hier eventuell eine erweiterte Abbildung O als Generator einer Zeittranslation definieren, die dann Punkte im Phasenraum in der Zeit - gemäß den Bewegungsgleichungen - verschiebt.
MfG