ralfkannenberg
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Hallo zusammen,
man findet ja immer wieder Bücherserien "für Dummies", was synoinym verstanden werden soll, dass es sich an Anfänger richtet. Ich versuche mal einen solchen Ansatz für die ganze Thematik "Metrik", "Norm", "Abstand", in verallgemeinerter Form auch "Halbmetrik" bzw. "Pseudo-Metrik", Minkowski-Metrik", "Abstandsfunktion" und so weiter.
Der grundlegende Begriff hierfür ist der Begriff der "Bilinearform" und des "Skalarproduktes", ich schreibe das für die Leserinnen und Leser, die das schon einmal gehört haben.
Ich will in diesem Thread aber ganz am Anfang anfangen und nur voraussetzen, dass man weiss, dass es Vektoren gibt; ich wede mich überdies weitgehend auf den zweidimensionalen Raum beschänken.
Wer auch den Vektorbegriff noch nie gehört hat, kann sich so einen Vektor als "Doppelzahl" vorstellen, wobei diese Zahlen nichts miteinander zu tun haben dürfen. Etwas hochgestochener nennt man letzteres auch "lineare Unabhängigkeit".
1. Einleitung:
Seien nun also mal 2 solcher zweidimensionaler Vektoren gegeben:
(a,b) und (c,d).
Gewiss, ein Naurwissenschaftler würde jetzt (x1,y1) und (x2,y2) schreiben und ein jeder weiss, dass man da manchmal vor lauter Indizes den sogenannten Indexsalat - in der Schweiz mitunter weniger vornehm als "Indexpuff" bezeichnet, erhält.
Ich will aber keinen Indexsalat und wir sind auch nur im 2-Dimensionalen, also heissen unsere beiden Vektoren der Einfachheit halber (a,b) und (c,d).
Und ich brauche auch noch zwei reelle Zahlen (rational würde an sich genügen, aber wir wollen jetzt nicht minimalistisch sein); diese nenne ich r und s.
a,b,c und d sind übrigens auch reelle Zahlen; sie sind die Komponenten der beiden Vektoren:
a die erste Komponente von (a,b)
b die zweite Komponente von (a,b)
c die erste Komponente von (c,d)
d die zweite Komponente von (c,d)
2. Die Funktion B:
Und nun definiere ich zum Spass einmal eine Funktion und wir wollen diese im Folgenden näher betrachten. Es wird sich zeigen, dass diese Funktion äusserst nützliche Eigenschaften aufweist.
Diese Funktion nenne ich "B"; sie hat als Argumente zwei Vektoren (z.B. gerade unsere beiden Vektoren) und zwei reellen Zahlen und sie wird auf eine Zahl abgebildet.
Diese Funktion bildet somit unsere beiden Vektoren auf eine Zahl ab, und ich will, dass sie das wie folgt macht:
B ----> r*a*c + s*b*d
Das sieht auf den ersten Blick etwas komisch aus, hat aber folgende Idee:
1. wir multiplizieren die beiden ersten Komponenten unserer beiden Vektoren und geben dem Produkt noch ein Vielfaches
2. wir multiplizieren die beiden zweiten Komponenten unserer beiden Vektoren und geben dem Produkt noch ein (i.a. anderes) Vielfaches
3. wir addieren (1) und (2)
Ein Mathematiker würde das nun so schreiben:
B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)
Das sieht nun alles sehr willkürlich aus, aber das soll uns nicht weiter stören.
Also nochmal:
- wir multiplizieren die beiden ersten Komponenten unserer beiden Vektoren und vervielfältigen ihr Produkt um r
- wir multiplizieren die beiden zweiten Komponenten unserer beiden Vektoren und vervielfältigen ihr Produkt um s
- wir addieren die beiden Produkte
In einem höher-dimensionalen Raum würde man das übrigens genau gleich machen, nur dass man da eben mehr Komponenten hat; dort würde man also die ersten Kompoenten multiplizieren und vervielfältigen, dann die zweiten und die auch mit der gleichen oder einer anderen Zahl vervielfältigen, dann die dritten Komponenten multiplizieren und mit irgendeiner anderen oder gleichen Zahl vervielfältigen, dasselbe mit den vierten, fünften usw. Komponenten, und dann am Ende alle diese Produkte aufaddieren.
3. Beispiele:
Beispiel 1:
Vektor 1 = (2,3), Vektor 2 = (4,5); r=10, s=20:
B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)
Setzen wir das ein:
B{10,20} [ (2,3) , (4,5) ] = 10*(2*4) + 20*(3*5) = 10*8 + 20*15 = 80+300 = 380
Beispiel 2:
Vektor 1 = (1,0), Vektor 2 = (0,1); r=1, s=1:
B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)
Setzen wir das ein:
B{1,1} [ (1,0) , (0,1) ] = 1*(1*0) + 1*(0*1) = 1*0 + 1*0 = 0
Wer sich ein bisschen mit Vektoren auskennt, der sieht, dass die beiden Vektoren (1,0) und (0,1) senkrecht stehen und man kann bewiesen, dass B{1,1} dann 0 wird, wenn die beiden Vektoren senkrecht stehen.
Beispiel 3:
Vektor 1 = (2,0), Vektor 2 = (2,0); r=1, s=1:
B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)
Setzen wir das ein:
B{1,1} [ (2,0) , (2,0) ] = 1*(2*2) + 1*(0*0) = 1*4 + 1*0 = 4
Nun habe ich zweimal denselben Vektor eingesetzt und wer sich schon ein bisschen mit Vektoren auskennt, sieht, dass die Quadratwurzel von B{1,1} bei zweimal demselben Vektor seine Länge ergibt.
Die beiden Beispiele 2 und 3 dürften Motivation genug sein, um zu sehen, dass es sich lohnt, diese Funktion B{r,s} näher anzuschauen.
OK, ich denke, das ist schon schwer verdaulich genug, deswegen beende ich diesen Beitrag mal an dieser Stelle.
man findet ja immer wieder Bücherserien "für Dummies", was synoinym verstanden werden soll, dass es sich an Anfänger richtet. Ich versuche mal einen solchen Ansatz für die ganze Thematik "Metrik", "Norm", "Abstand", in verallgemeinerter Form auch "Halbmetrik" bzw. "Pseudo-Metrik", Minkowski-Metrik", "Abstandsfunktion" und so weiter.
Der grundlegende Begriff hierfür ist der Begriff der "Bilinearform" und des "Skalarproduktes", ich schreibe das für die Leserinnen und Leser, die das schon einmal gehört haben.
Ich will in diesem Thread aber ganz am Anfang anfangen und nur voraussetzen, dass man weiss, dass es Vektoren gibt; ich wede mich überdies weitgehend auf den zweidimensionalen Raum beschänken.
Wer auch den Vektorbegriff noch nie gehört hat, kann sich so einen Vektor als "Doppelzahl" vorstellen, wobei diese Zahlen nichts miteinander zu tun haben dürfen. Etwas hochgestochener nennt man letzteres auch "lineare Unabhängigkeit".
1. Einleitung:
Seien nun also mal 2 solcher zweidimensionaler Vektoren gegeben:
(a,b) und (c,d).
Gewiss, ein Naurwissenschaftler würde jetzt (x1,y1) und (x2,y2) schreiben und ein jeder weiss, dass man da manchmal vor lauter Indizes den sogenannten Indexsalat - in der Schweiz mitunter weniger vornehm als "Indexpuff" bezeichnet, erhält.
Ich will aber keinen Indexsalat und wir sind auch nur im 2-Dimensionalen, also heissen unsere beiden Vektoren der Einfachheit halber (a,b) und (c,d).
Und ich brauche auch noch zwei reelle Zahlen (rational würde an sich genügen, aber wir wollen jetzt nicht minimalistisch sein); diese nenne ich r und s.
a,b,c und d sind übrigens auch reelle Zahlen; sie sind die Komponenten der beiden Vektoren:
a die erste Komponente von (a,b)
b die zweite Komponente von (a,b)
c die erste Komponente von (c,d)
d die zweite Komponente von (c,d)
2. Die Funktion B:
Und nun definiere ich zum Spass einmal eine Funktion und wir wollen diese im Folgenden näher betrachten. Es wird sich zeigen, dass diese Funktion äusserst nützliche Eigenschaften aufweist.
Diese Funktion nenne ich "B"; sie hat als Argumente zwei Vektoren (z.B. gerade unsere beiden Vektoren) und zwei reellen Zahlen und sie wird auf eine Zahl abgebildet.
Diese Funktion bildet somit unsere beiden Vektoren auf eine Zahl ab, und ich will, dass sie das wie folgt macht:
B ----> r*a*c + s*b*d
Das sieht auf den ersten Blick etwas komisch aus, hat aber folgende Idee:
1. wir multiplizieren die beiden ersten Komponenten unserer beiden Vektoren und geben dem Produkt noch ein Vielfaches
2. wir multiplizieren die beiden zweiten Komponenten unserer beiden Vektoren und geben dem Produkt noch ein (i.a. anderes) Vielfaches
3. wir addieren (1) und (2)
Ein Mathematiker würde das nun so schreiben:
B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)
Das sieht nun alles sehr willkürlich aus, aber das soll uns nicht weiter stören.
Also nochmal:
- wir multiplizieren die beiden ersten Komponenten unserer beiden Vektoren und vervielfältigen ihr Produkt um r
- wir multiplizieren die beiden zweiten Komponenten unserer beiden Vektoren und vervielfältigen ihr Produkt um s
- wir addieren die beiden Produkte
In einem höher-dimensionalen Raum würde man das übrigens genau gleich machen, nur dass man da eben mehr Komponenten hat; dort würde man also die ersten Kompoenten multiplizieren und vervielfältigen, dann die zweiten und die auch mit der gleichen oder einer anderen Zahl vervielfältigen, dann die dritten Komponenten multiplizieren und mit irgendeiner anderen oder gleichen Zahl vervielfältigen, dasselbe mit den vierten, fünften usw. Komponenten, und dann am Ende alle diese Produkte aufaddieren.
3. Beispiele:
Beispiel 1:
Vektor 1 = (2,3), Vektor 2 = (4,5); r=10, s=20:
B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)
Setzen wir das ein:
B{10,20} [ (2,3) , (4,5) ] = 10*(2*4) + 20*(3*5) = 10*8 + 20*15 = 80+300 = 380
Beispiel 2:
Vektor 1 = (1,0), Vektor 2 = (0,1); r=1, s=1:
B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)
Setzen wir das ein:
B{1,1} [ (1,0) , (0,1) ] = 1*(1*0) + 1*(0*1) = 1*0 + 1*0 = 0
Wer sich ein bisschen mit Vektoren auskennt, der sieht, dass die beiden Vektoren (1,0) und (0,1) senkrecht stehen und man kann bewiesen, dass B{1,1} dann 0 wird, wenn die beiden Vektoren senkrecht stehen.
Beispiel 3:
Vektor 1 = (2,0), Vektor 2 = (2,0); r=1, s=1:
B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)
Setzen wir das ein:
B{1,1} [ (2,0) , (2,0) ] = 1*(2*2) + 1*(0*0) = 1*4 + 1*0 = 4
Nun habe ich zweimal denselben Vektor eingesetzt und wer sich schon ein bisschen mit Vektoren auskennt, sieht, dass die Quadratwurzel von B{1,1} bei zweimal demselben Vektor seine Länge ergibt.
Die beiden Beispiele 2 und 3 dürften Motivation genug sein, um zu sehen, dass es sich lohnt, diese Funktion B{r,s} näher anzuschauen.
OK, ich denke, das ist schon schwer verdaulich genug, deswegen beende ich diesen Beitrag mal an dieser Stelle.
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