Maxwell-Boltzmann-Verteilung, wie bitte?!

Nabend,
Ich wollte mir grade ein Programm schreiben, um schnell den Atmosphärenverlust berechnen zu können (Masse des Planeten, Bahntemperatur, gewünschter prozentualler Verlust eingeben, gewünschtes Gas auswählen... fertig, Ausgabe der Zeit bis die gewünschte Menge der Atmosphäre verloren ist) Dummerweise kann ich mit den Formeln auf Wikipedia absolut gar nichts anfangen weil ich einen Großteil der Variablen nicht kenne und mir daher auch nicht der Sinn der einzelnen Formeln erschließt.

Wäre jemand so nett, mir das mal an einem Beispiel vorzurechnen?
Ich poste gern auch das Programm wenns fertig ist

mfg Kibo

Kibo schrieb:

Dummerweise kann ich mit den Formeln auf Wikipedia absolut gar nichts anfangen weil ich einen Großteil der Variablen nicht kenne und mir daher auch nicht der Sinn der einzelnen Formeln erschließt.

Zum Vergrößern anklicken....

Vielleicht solltest Du Dich mit Problemen befassen, denen Du gewachsen bist?

Kibo schrieb:

Wäre jemand so nett, mir das mal an einem Beispiel vorzurechnen?

Zum Vergrößern anklicken....

Hi Kibo,

Beispiele zeigt auch der Wikipedia-Artikel zur Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Versuche einfach mal einzelne Punkte dieser Kurven nachzurechnen.
Gruß

Hallo Bernhard,
Den Wikipediaartikel und die Grafik kenn ich ja. Das Problem ist, dass ich das Ganze nicht nachrechnen kann weil ich nicht weis was ich wo in welche Formel einsetzen soll.
Ich tippe mal das die Funktion für Stickstoff bei 300 Kelvin so aussehen soll:

y=(2/π)^-1(14/((1,3806504 · 10^-23)*300))^2/3*v^2*exp*(-14*v2/(2*(1,3806504 · 10^-23)*300))

mein Problem daran ist, ich weis nich was exp ist

ΕDIT: Ok wenn dieses exp das selbe ist wie e^v dann ist das ja schon mal ein Fortschritt, aberr wenn ich das jetzt in Derive 5 eingebe Zeichnet der mir trotzdem keine Funktion

Kibo schrieb:

mein Problem daran ist, ich weis nich was exp ist

Zum Vergrößern anklicken....

Hi Kibo,

exp steht einfach für e hoch, also die Umkehrfunktion von ln. Es gilt z.B. exp(2) = e^2.

EDIT: Du solltest Dich zudem entscheiden, welche Version der Gleichung Du verwenden willst. Die einfachere ist vermutlich die mit der Molmasse und die ist bei Stickstoff wegen der Molekülbildung zu N_2 gleich 28 g/mol. Zusätzlich muss man dann aber auch die Gaskonstante verwenden.
Gruß

für N_2 bei 250°C (= 523K) ergibt sich für eine Geschwindigkeit von 500 m/s

F(v) = 4 * pi * (28/(1000*2*pi*8,314472*523))^1,5 * 500^2 * e^(-28*500*500/(2*1000*8,314472*523)) etwa gleich 1,457e-3 (ist etwa das Maximum)

Beachte dabei aber auch die Klammern, sonst bekommst Du ein falsches Ergebnis. Leider geht das nicht einfacher und damit fangen dann die Probleme erst an, weil man mit der Verteilung in Abhängigkeit des Betrages der Geschwindigkeit eigentlich noch nicht fertig ist. Denn es verlassen ja nur die Teilchen den Planeten, deren radiale Geschwindigkeit (also senkrecht zur Planetenoberfläche) die Fluchtgeschwindigkeit übertrifft.

Dann braucht man auch noch die Temperaturverteilung der Modellatmosphäre und muss sich auch noch überlegen, ob das Testteilchen die darüberliegende Restatmosphäre durchdringen kann. Du solltest Dir dazu also noch vereinfachende Annahmen überlegen.
Gruß

Danke Bernhard,
Bei mir ist auch gerade ebend der Groschen gefallen, also für alle anderen Mitleser ist die Funktion jetzt also:
y=(2/π)^-1(14/((1,3806504 · 10^-23)*300))^2/3*v^2*e^(-14*v2/(2*(1,3806504 · 10^-23)*300))

oder

y=4*π(2*14,0067/(2*π*8,314472*300))^(3/2)*v^2*e^(-2*14,0067*v^2/(2*8,314472*300))

jetzt kommt bei Derive5 zwar eine Funktion raus, aber die entspricht nicht der von Wikipedia. Schau mal:
http://img510.imageshack.us/img510/8140/stickstoff.jpg

EDIT: Ups jetzt warst du schneller. Aber trotzdem: Wenn die Formel jetzt so funktioniert, was sagt dann F(v) für einen bestimmten wert dann nun aus? Das ist doch dann die Warscheinlichkeit, das ein Teilchen in der Atmosphäre genau diese Geschwindigkeit hat oder?
Da stellt sich fr mich nun die Frage wie es denn nun weiter geht. Ich muss ja von da aus irgendwie auf eine Verlustmenge pro Jahr oder sowas kommen damit ich überhaupt weiter komme. Nährlösung würde ja reichen

Wenn ich das Integral von der Fluchtgeschwindigkeit bis unendlich bilde, erhalte ich doch Die Fläche unter der Funktion für diesen Bereich. Wenn ich den dann jetzt ins Verhältnis setze zum Integral von 0 bis Fluchtgeschwindigkeit....
Erhalte ich dann genährt das Verhältnis der "fliehenden" Teilchen zu verbleibenden Atmosphäre? Aber in welchen Zeitraum ist denn das dann?

mit fragenden Grüßen Kibo
EDIT: Ich geh erstmal ins Bett, Morgen kann ich vielleicht klarer denken. gute Nacht

Bernhard schrieb:

Denn es verlassen ja nur die Teilchen den Planeten, deren radiale Geschwindigkeit (also senkrecht zur Planetenoberfläche) die Fluchtgeschwindigkeit übertrifft.

Zum Vergrößern anklicken....

Hallo Kibo,

das möchte ich noch korrigieren, mit einem Blick auf den Artikel über die kosmischen Geschwindigkeiten (Wikipedia). Man kann also das Integral über die Verteilungsfunktion von der Fluchtgeschwindigkeit bis Unendlich berechnen und dann noch mit 0.5 multiplizieren. Man hat dann den Anteil an Teilchen, der den Planeten verlassen kann, allerdings nur von der obersten Atmosphärenschicht. Teilchen, die darunter liegen, werden ja durch die darüberliegenden Gasschichten auch wieder abgebremst.

Insgesamt würde ich mir noch überlegen, ob es überhaupt Sinn macht hier noch weiter nachzuforschen. Ein Blick auf die Erdgeschichte und das Sonnensystem zeigt schließlich, dass Atmosphären von Planeten auch langfristig ziemlich stabil sind.

Guten Morgen,
Sicherlich ist das Ergebnis einer solchen Rechnung nur ein Nährwert. Die Atmosphärenerosion wird noch von vielen anderen Faktoren beeinflusst, sonst ließe sich nicht Erklären warum die Venus so eine dicke Atmosphäre hat, die Erde so eine dünne und der Mars so eine ultradünne besitzt. Ich programmiere das jetzt aus Spaß weiter, wenn das Ergebnis nicht zufriedenstellend ist muss ich halt weitere Faktoren mit einbeziehen. In jedem Fall erhoffe ich mir einen nicht unerheblichen Erkenntnisgewinn für mich persönlich.
Ich hab da übrigends noch eine sehr grobe Überschlagsrechnung gefunden (für mich zu grob, funktioniert für den Mars beispielsweise nicht) wenn die mittlere Geschwindigkeit eines Gases auf einem Planeten weniger als 1/5 ist, so kann er dieses Gas halten.

mfg Kibo

4 * pi * (28/(1000*2*pi*8,314472*523))^1,5 * 500^2 * e^(-28*500*500/(2*1000*8,314472*523))

Zum Vergrößern anklicken....

Wenn ich das ausrechne stimmt das zwar, aber woher kommen die *1000?

Kibo schrieb:

Wenn ich das ausrechne stimmt das zwar, aber woher kommen die *1000?

Zum Vergrößern anklicken....

das ist der Umrechnungsfaktor von g/mol in die SI-Einheit kg/mol. Die molare Masse von Stickstoff habe ich also zu 28/1000 kg/mol verwendet.

Aha ok danke,
Jetzt müsste ich blos noch wissen wie ich da eine verlustmenge pro Zeitabschnitt raus kriege.

mfg Kibo

Hallo Kibo,

ich find es Prima dass Du dich mit sowas beschäftigst!
Es würde mich freuen wenn Du nach Abschluss "selbstgestellter" Aufgabe, vlt. Stichwortartig (zwecks schnellem Verstehens für and.), Deine Gedanken zu Anlass und erhaltenem Resultat äusserst!?
Danach könnte ich gegebenfalls, weitere Daten zum Thema verlinken,
falls gewünscht...
LG
z

Ganz grosses Lob für Bernhard!

Kibo schrieb:

Jetzt müsste ich blos noch wissen wie ich da eine verlustmenge pro Zeitabschnitt raus kriege.

Zum Vergrößern anklicken....

Hallo Kibo,

die Maxwell-Boltzmann-Verteilung hilft Dir da nicht weiter. Du musst für die Planetenatmosphäre die Diffusionsgleichung lösen und das übersteigt zusammen mit der zugehörigen Thermodynamik sicher Deine Möglichkeiten. Sich zu überlegen, was man dabei eventuell vereinfachen kann ist ebenfalls ziemlich anspruchsvoll. Die gif-Animation auf der Wikipedia-Seite zeigt aber schon recht gut, was Du letztlich suchst.
Gruß

Bernhard schrieb:

Du musst für die Planetenatmosphäre die Diffusionsgleichung lösen

Zum Vergrößern anklicken....

Hi Kibo,

man muss genaugenommen die Diffusionsgleichung auch noch modifizieren, damit das Schwerkraftpotential -GM/r des Planeten berücksichtigt wird. Anschließend kann man die Gleichung in Kugelkoordinaten anschreiben und voraussichtlich unter Verwendung von Kugelflächenfunktionen in Form einer Reihenentwicklung lösen. Man kann dann viel Mathematik aus der Quantenmechanik übernehmen, weil die Diffusionsgleichung der Form nach einer zeitabhängigen Schrödingergleichung entspricht. Vom ersten Hinsehen ist Deine Beschreibung von der Mathematik her identisch mit dem Wasserstofffproblem der Quantenmechanik.

Vielleicht finden wir da langfristig also doch eine passende Beschreibung für die Physik der Planetenatmosphäre .
Schöne Grüße

Bernhard schrieb:

Vom ersten Hinsehen ist Deine Beschreibung von der Mathematik her identisch mit dem Wasserstofffproblem der Quantenmechanik.

Zum Vergrößern anklicken....

ein zweiter Blick zeigt, dass man wissen muss, ob der Diffusionskoeffizient konstant ist. Es ist aber zu erwarten, dass der von der Temperatur der Atmosphäre abhängt, was die Sache dann wirklich unangenehm macht, weil man dann mit der Mathematik vom Wasserstoffproblem her auch nicht mehr direkt weiter kommt.

Die erste Vereinfachung wäre also ein konstanter Diffusionskoeffizient.

Hallo Alle,

Ok ich hab mir dazu jetzt ein paar Überlegungen gemacht. Mit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung finden wir raus wie groß der Anteil der Moleküle in der Hochatmosphäre ist der Gefährdet ist. Aufgrund der Temperatur nehmen die Moleküle eine gewisse Geschwindigkeit auf, wobei die Zielrichtung zufällig ist. Wenn wir annehmen, dass alle Teilchen die nicht nach unten zielen den Planeten auch verlassen können, so müssen wir nur noch die Menge der gefährdeten Teilchen durch 2 teilen und erhalten damit die Tatsächliche Verlustmenge.
Die Exosphäre dort müsste die Maxwell-Bolzmann-Verteilung dann ansetzen, die unteren Schichten sind erstmal irrelevant. Du hattest natürlich recht, Bernhard, bei der Diffusion seh ich noch nicht weit genug durch, um damit Rechnen zu können, aber Ich versteh schonmal warum wir das brauchen:
Die Exosphäre ist ja quasi ein Raum, wo auf der einen Seite die Teilchen aus der Atmosphäre sind und auf der anderen Seite nichts. Der Druckunterschied und die Gravitation gleichen sich an der Stelle aus, und sind somit hier irrelevant. Jetzt müsst Ich also mittels der Temperatur, die Geschwindigkeit für die Teilchenbewegung ermitteln.
Wir haben also folgende Faktoren, die den Atmosphärenverlust beeinflussen:
-die Größe der Exosphäre (könnte man auf einen Prozentwert der Gesamtatmosphäre pauschel runden?) woraus wir dann mittels der M-B-V die Verlustmenge rauskriegen
- die Temperatur der Teilchen (Ergibt sich aus der Strahlleistung des Sterns und der Bahnnähe) welche dann das Zeitintervall bestimmt, in denen die Teilchen die Atmosphäre verlassen.

Die Anfangsdicke der Atmosphäre beruht notgedrungen auf eine Schätzung. Wir sagen also doppelt so schwere Planeten haben am Anfang auch doppelt so viel Atmosphäre usw. Da kann man ja bisschen rumprobieren, bis man auf anständige Ergebnisse kommt.

mfg Kibo

Hallo Bernhard,

Ich habe deine Posts von heute eben erst gesehen. Ich muss da erstmal noch bisschen drüber nachdenken bevor ich darauf antworte

MFG Kibo

Hallo Kibo,

bei google-books habe ich noch den Bergmann-Schäfer Band 7 insbesondere ab S. 605 gefunden. Er zeigt auch, dass die Diffusionsgleichung sicher die erste Wahl für brauchbare Ergebnisse ist. Man müsste nur noch wissen, wie groß der Diffusionskoeffizient sinnvollerweise sein muss.
Gruß