mathematischer Beweis

[serafin]

Hallo!

Ich weiss nicht, ob das hier das richtige Forum für meine Frage ist. Es geht mir, um die Universalität/Sicherheit des strengen mathematischen Beweises. Ohne auf Details einzugehen, was diesen ausmacht, finde ich darin immer folgende Lücke in der Argumentation. Die Wahrscheinlichkeit ist >0, aber nicht =0, dass alle, die einen Beweis nachvollziehen und prüfen, einen logisch fehlerhaften Schritt übersehen, weil sie die Konzentration nicht vollständig beisammen hatten oder ihr Gehirn gerade falsch schaltete. Egal wie oft man es auch prüfte, es gelänge nie diese Wahrscheinlichkeit auf 0 zu bringen, was den Beweis allgemein gültig (vom Menschen unabhängig) machte. Problematisch finde ich, dass dann selbst die Mathematik nur ihre Berechtigung in der Menschenwelt hat und auf der Evolution, Biologie oder Programmierung der Menschen aufbaut.
Teilt ihr diese Ansicht?

MfG serafin

PS: Dass Mathematik ein höheres Abstraktionsniveau und auch eine exaktere
Beweisführung als andere Naturwissenschaften hat, bestreit ich nicht, sondern ich zweifele die universelle Allgemeingültigkeit an.

[Kunibert]

Die Ungenauigkeit kann man vernachlässigen! Ist doch sehr unwahrscheinlich, daß gerade derjenige der einen Beweis führt und seine Mitstreiter alle pennen.

[Miora]

...natürlich machen Menschen Fehler, doch selbst bei komplizierten Beweisen würde ich diesen Fehler als klein erachten, schliesslich werden diese Sätze immerwieder überprüft. Solange sich die Mathematiker nicht sicher sind, nennen sie es in der Regel "Vermutung".

Aber der mathematische Beweis ist an sich "dicht". Es ist etwas ganz anderes als eine naturwissenschaftliche Theorie, die tausendmal überprüft wurde, und nie ein Beweis, sondern nur ein gutes Modell sein kann. Eben so lange, bis es versagt...


Zitat Serafin:
Problematisch finde ich, dass dann selbst die Mathematik nur ihre Berechtigung in der Menschenwelt hat und auf der Evolution, Biologie oder Programmierung der Menschen aufbaut.
Teilt ihr diese Ansicht? Was meinst Du damit? Warum problematisch, warum auf Menschen beschränkt?

Gruss,
Miora

[ralfkannenberg]

dass alle, die einen Beweis nachvollziehen und prüfen, einen logisch fehlerhaften Schritt übersehen, weil sie die Konzentration nicht vollständig beisammen hatten oder ihr Gehirn gerade falsch schaltete. Egal wie oft man es auch prüfte, es gelänge nie diese Wahrscheinlichkeit auf 0 zu bringen, was den Beweis allgemein gültig (vom Menschen unabhängig) machte.Das ist richtig, Irrtümer sind kaum auszuschliessen. Doch die "einfachen" Beweise werden von jungen hungrigen Studenten im Studium durchgeackert; dass sie alle auf den gleichen Trugschluss hineinfallen, ist unwahrscheinlich. Komplexere Beweise indes haben nicht so viele "Kontrolleure", dass hier könnte sich ein Irrtum leichter einschleichen. Doch diese Kontrolleure sind oftmals extrem ehrgeizig und lauern nur darauf, einen Fehler zu finden, um sich selber etablieren zu können. So gesehen ist die Wahrscheinlichkeit ebenfalls gering, dass sie einen Trugschluss übersehen.

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Beweise falsch sind, in der Tat echt grösser als 0 ! Allerdings dürfte diese Zahl sehr in der Nähe von 0 liegen :)



Egal wie oft man es auch prüfte, es gelänge nie diese Wahrscheinlichkeit auf 0 zu bringenSelbst wenn Du die Wahrscheinlichkeit auf =0 bringen könntest, könnte immer noch ein Fehler vorhanden sein: Man kann aus einer Wahrscheinlichkeit 0 nicht auf die Nicht-Existenz eines Ereignisses schliessen. Das gilt nur bei endlichen Mengen !

Ein Beispiel möge das erläutern: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei der zufälligen Auswahl einer natürlichen Zahl die Zahl 12 zu treffen? Diese Wahrscheinlichkeit ist natürlich gleich 0. Und für alle natürlichen Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit gleich gross, d.h. gegeben eine natürliche Zahl n, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie gezogen wird, =0. Dennoch ist es sicher, dass bei der Auswahl eine natürliche Zahl getroffen wird.

Fazit: Trotz Wahrscheinlichkeit 0 tritt ein Ereignis ein !

Ja, auch die Wahrscheinlichkeit, aus der Menge der reellen Zahlen einen Bruch zu ziehen, ist gleich 0, und das, obgleich die Menge der rationalen Zahlen (d.h. der Brüche) sogar unendlich gross ist !

Man kann auch ein physikalisches Beispiel nehmen: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Luft-Moleküle des Raumes, indem ich mich befinde, zufällig in die rechte obere Ecke wandern und ich ersticke, ist zwar extrem gering und das Alter des Universums reicht um Zehnerpotenzen von Zehnerpotenzen nicht aus, um so ein Ereignis mit 50% Wahrscheinlichkeit eintreten zu lassen, aber sie ist echt grösser als 0 ;)

[Miora]

Zitat Ralf:
Ein Beispiel möge das erläutern: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei der zufälligen Auswahl einer natürlichen Zahl die Zahl 12 zu treffen? Diese Wahrscheinlichkeit ist natürlich gleich 0. Und für alle natürlichen Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit gleich gross, d.h. gegeben eine natürliche Zahl n, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie gezogen wird, =0. Dennoch ist es sicher, dass bei der Auswahl eine natürliche Zahl getroffen wird. Schönes Beispiel, habe darüber noch gar nicht nachgedacht!

Gruss,
Miora

[Sky Darmos]

Egal wie oft man es auch prüfte, es gelänge nie diese Wahrscheinlichkeit auf 0 zu bringen, was den Beweis allgemein gültig (vom Menschen unabhängig) machte.

Doch, das gelingt indem man ein formales System entwickelt und die zu beweisende Aussage algorithmisch aus den logischen Schlussregeln und den Axiomen dieses Systems ableitet.

Eine falsche Schlussfolgerung beruht ganz wesentlich darauf einen logischen Schritt zu übergehen. Dies kann nach einer formalisierung nicht mehr geschehen, da hier jeder Schritt nur mit entsprechenden Ableitungsregeln erfolgen kann.

[ralfkannenberg]

Schönes Beispiel, habe darüber noch gar nicht nachgedacht!

Gruss,
MioraWas ich sagen wollte - man kann aus einer Wahrscheinlichkeit = 0 nicht unbedingt zwingende Schlussfolgerungen ziehen. Solche nicht-leere Mengen, die salopp formuliert eine Eintrittswahrscheinlichkeit von 0 haben, heissen übrigens "Nullmengen".

Ich vermute, dass man wegen all' solcher Probleme auch das Auswahlaxiom hat einführen müssen. Ich meine, was bedeutet das, aus einem Topf aller natürlichen Zahlen eine herauszuziehen ? Geht sowas überhaupt ? :confused:

Aber ich bin nur ein Mathematiker und kein Logiker - gerne überlasse ich solche Fragestellungen den Kollegen der ganz reinen Lehre :)

[Sky Darmos]

Ein Beispiel möge das erläutern: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei der zufälligen Auswahl einer natürlichen Zahl die Zahl 12 zu treffen? Diese Wahrscheinlichkeit ist natürlich gleich 0. Und für alle natürlichen Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit gleich gross, d.h. gegeben eine natürliche Zahl n, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie gezogen wird, =0. Dennoch ist es sicher, dass bei der Auswahl eine natürliche Zahl getroffen wird.

Fazit: Trotz Wahrscheinlichkeit 0 tritt ein Ereignis ein !


Hier stimme ich nicht zu. Eine solche Zufällige Auswahl muss zwangsläufig mit einem Gerät erfolgen das endlich viele Zustände aufweist. Es kann daher auch nur endlich viele Zahlen zufällig oder pseudozufällig auswählen. Die Anzahl der Zahlen die Ausgewählt werden können muss daher endlich sein. Weiterhin kann auch die Wahrscheinlichkeit bei einem echten Physikalischen Gerät nicht für alle Zustände gleich sein.

Du vermischst hier eine rein mathematische Überlegung mit einer physikalischen. Eine (platonische) Unendliche Menge mit der willkürlichen Auswahl eines Elements aus dieser Menge. Eine solche Auswahl ist nicht durch mathematische Axiome bestimmt und kann daher nicht im Rahmen einer rein mathematischen Betrachtung einbezogen werden - nur in einer physikalischen.

[Sky Darmos]

Solche nicht-leere Mengen, die salopp formuliert eine Eintrittswahrscheinlichkeit von 0 haben, heissen übrigens "Nullmengen".

In der reinen Mathematik gibt es keine Eintrittswahrscheinlichkeiten.
Um aber mal nach deiner Ausführung zu gehen müssten ja alle unendlichen Mengen Nullmengen sein. Nullmengen sind aber was ganz anderes. Unendliche Mengen sind keinesfalls gleich Nullmengen.


Ich vermute, dass man wegen all' solcher Probleme auch das Auswahlaxiom hat einführen müssen. Ich meine, was bedeutet das, aus einem Topf aller natürlichen Zahlen eine herauszuziehen? Geht sowas überhaupt?

Nur physikalisch, aber nicht rein mathematisch. Eine Auswahlfunktion ist ja bei endlichen Mengen durchaus sinnvoll, bei unendlichen Mengen erscheint sie mir aber absurd. Das Auswahlaxiom behauptet lediglich die Existenz einer solchen Auswahlfunktion ohne ihre Konstruktion zu ermöglichen. Ich bin zwar kein Anhänger des mathematischen Konstruktivismus, doch sehe ich nicht ein was für einen sinn dieses Axiom machen soll - vor allem wenn man wiederspruchsfrei darauf verzichten kann.

[serafin]

Guten Tag

Herzlichen Dank für Eure reichhaltigen Antworten in so kurzer Zeit.


Zitat von Kunibert: Die Ungenauigkeit kann man vernachlässigen! Ist doch sehr unwahrscheinlich, daß gerade derjenige der einen Beweis führt und seine Mitstreiter alle pennen.
sehr ist nicht ganz

Zitat von Miora: Was meinst Du damit? Warum problematisch, warum auf Menschen beschränkt?
Wahrscheinlich meine ich das viel profaner, als Du es zu verstehen versucht hast. Es geht mir einzig um den Ursprung und den damit einhergehenden Wahrheitswert von mathematischen Aussagen. Mir missfällt die Vorstellung einer Aussage, die über einen Beweis als objektiv wahr verifiziert wurde, da gerade eben die Wahrscheinlichkeit besteht, dass sich die Individuen, die diesen Beweis führten, verkalkuliert hatten. Wie kann ich mir also der "objektiven Wahrheit", die ein von Menschen geführter Beweis liefert, sicher sein?

Zitat von ralfkannenberg: Fazit: Trotz Wahrscheinlichkeit 0 tritt ein Ereignis ein !
Hm, danke ralfkannenberg, für Deine Ausführungen. Einleuchtend, wenn es einem jemand vordenkt. :)

Herzlich grüsst
serafin

[Kunibert]

...Eine solche Zufällige Auswahl muss zwangsläufig mit einem Gerät erfolgen das endlich viele Zustände aufweist. Es kann daher auch nur endlich viele Zahlen zufällig oder pseudozufällig auswählen. Die Anzahl der Zahlen die Ausgewählt werden können muss daher endlich sein...

Du meinst damit, man muss die Zeit, die zur Auswahl steht, begrenzen, um irgendwann eine Auswahl angeboten zu bekommen, aber damit kann nur eine endliche Menge berücksichtigt werden?

[Sky Darmos]

Du meinst damit, man muss die Zeit, die zur Auswahl steht, begrenzen, um irgendwann eine Auswahl angeboten zu bekommen, aber damit kann nur eine endliche Menge berücksichtigt werden?

Ich will es etwas salopper formulieren: Stell dir ein Gerät mit einer Anzeigentafel vor. Die größe der Zahlen die diese Tafel anzeigen kann, muss endlich sein, wenn das Gerät endlich sein soll. Selbst wenn man die Potenzschreibweise nutzt, kann man nicht beliebig große Zahlen auf die Anzeigentafel bannen.

Da ich meinen Einwand allgemeiner formulieren wollte hab ich von "endlich vielen Zuständen des Geräts" gesprochen statt speziell von "endlich vielen möglichen Anzeigen auf einer Anzeigentafel".

[Sky Darmos]

Bitte Komentiere auch meinen ersten Einwand aus Beitrag 6. Er lautete:

"Doch, das gelingt indem man ein formales System entwickelt und die zu beweisende Aussage algorithmisch aus den logischen Schlussregeln und den Axiomen dieses Systems ableitet.

Eine falsche Schlussfolgerung beruht ganz wesentlich darauf einen logischen Schritt zu übergehen. Dies kann nach einer formalisierung nicht mehr geschehen, da hier jeder Schritt nur mit entsprechenden Ableitungsregeln erfolgen kann."

[Emil]

Ich bin mir nicht sicher, ob die meisten hier wirklich verstanden haben, worum es serafin geht? Ich vermute einmal, er/sie meint folgendes:

Mir missfällt die Vorstellung einer Aussage, die über einen Beweis als objektiv wahr verifiziert wurde, da gerade eben die Wahrscheinlichkeit besteht, dass sich die Individuen, die diesen Beweis führten, verkalkuliert hatten. Wie kann ich mir also der "objektiven Wahrheit", die ein von Menschen geführter Beweis liefert, sicher sein? Tja, das ist eine gute Frage. Zuerst einmal muß man sich bewußt sein, daß jede Theorie ein Modell ist. Sogar unser Zahlensystem, Brüche, reelle und sonstige Zahlen sind nichts weiter als ein Modell. Den Mathematikern erzähle ich sicherlich nichts Neues, dennoch erlaube ich mir eine Auffrischung: Zu Beginn steht ein Axiom, das nicht "verhandelbar" ist. Darauf baut man ein riesiges Gerüst an Modellen/ Theorien auf, das in sich schlüssig sein muß. Ob man damit eine "objektive Wahrheit" geschaffen hat, ist beinahe schon eine philosophische Frage.

Ich frage mal zurück: Könnte man sich denn eine außerirdische Mathematik vorstellen, die unsere Modelle ganz anders sieht bzw. als falsch betrachtet?

[Miora]

Zitat Emil:
Ich frage mal zurück: Könnte man sich denn eine außerirdische Mathematik vorstellen, die unsere Modelle ganz anders sieht bzw. als falsch betrachtet? Ich würde vermuten, dass die Ausserirdischen die selbe Mathematik benutzen sollten wie wir. Ich sehe die Mathemtaik von unserer Wahrnehmung entkoppelt. Genau deshalb können wir mit ihr Dinge beschreiben, die wir uns mit unserem Geist nicht vorstellen können (zB Mehrdimensionalität).


Zitat Serafin:
Mir missfällt die Vorstellung einer Aussage, die über einen Beweis als objektiv wahr verifiziert wurde, da gerade eben die Wahrscheinlichkeit besteht, dass sich die Individuen, die diesen Beweis führten, verkalkuliert hatten. Wie kann ich mir also der "objektiven Wahrheit", die ein von Menschen geführter Beweis liefert, sicher sein? Und doch ist der mathematische Beweis dasjenige, welches wir Menschen als sicherste Grundlage überhaupt haben. Der Satz des Pythagoras ist sicherer als Deine Existenz ;)

Gruss,
Miora

[Sky Darmos]

Ich frage mal zurück: Könnte man sich denn eine außerirdische Mathematik vorstellen, die unsere Modelle ganz anders sieht bzw. als falsch betrachtet?

Nicht falsch, aber unvollständig in dem Sinne dass es nicht den formalen Beweis aller Theoreme zulässt. Weiterhin unvollständig in dem Sinne dass nicht alle innerhalb des Systems konstruierbaren Sätze oder ihre Negationen, mit den Ableitungsregeln des Systems bewiesen werden können.

Das Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie existiert in der Riemanschen und der Lobatschewskischen Geometrie nicht mehr. Die entsprechenden Formalen Systeme unterscheiden sich also in ihren Axiomen voneinander. Was aber immer gleich bleibt sind die Ableitungsregeln. Sie representieren die Absolute Logik. Deren triviale Regeln erstmals Aristoteles systematisch niedergeschrieben hat.

[ralfkannenberg]

Doch, das gelingt indem man ein formales System entwickelt und die zu beweisende Aussage algorithmisch aus den logischen Schlussregeln und den Axiomen dieses Systems ableitet.

Eine falsche Schlussfolgerung beruht ganz wesentlich darauf einen logischen Schritt zu übergehen. Dies kann nach einer formalisierung nicht mehr geschehen, da hier jeder Schritt nur mit entsprechenden Ableitungsregeln erfolgen kann.Ich bin in den Ferien und kann deswegen nur rudimentäre Beiträge machen.

Fangen wir einmal an: Auch bei der Entwicklung des formalen Systemes besteht ein Restrisiko echt grösser 0, dass sich ein Irrtum einschleicht, der von allen Menschen übersehen wurde: Jeder Mensch hat ein Irrtum-Risiko echt grösser als 0 und die Wahrscheinlichkeit, dass sich alle Menschen gleichzeitig irren, ist in grober Abschätzung das Produkt obiger Irrtum-Risiken; und das Produkte von echt positiven Zahlen ist echt grösser als 0.
Selbst wenn man alles programmiert, besteht das - deutlich höhere ! - Risiko eines Programmier- oder gar Konzeptfehlers; falls man einen Roboter all' diese Arbeiten machen lässt, besteht das ebenfalls höhere Restrisiko eines Konstruktionsfehlers.

Hier stimme ich nicht zu. Eine solche Zufällige Auswahl muss zwangsläufig mit einem Gerät erfolgen das endlich viele Zustände aufweist. Es kann daher auch nur endlich viele Zahlen zufällig oder pseudozufällig auswählen. (...)
Du vermischst hier eine rein mathematische Überlegung mit einer physikalischen. Eine (platonische) Unendliche Menge mit der willkürlichen Auswahl eines Elements aus dieser Menge. Eine solche Auswahl ist nicht durch mathematische Axiome bestimmt und kann daher nicht im Rahmen einer rein mathematischen Betrachtung einbezogen werden - nur in einer physikalischen.Ich verstehe nicht, warum Du eine physikalische Komponente ins Spiel bringst: Du kannst ohne jede Physik und auch ohne das Wort "unendlich" zu verwenden beweisen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl aus den natürlichen Zahlen auszuwählen, gleich 0 ist. Wäre sie nämlich echt grösser als 0, sagen wir z, könntest Du eine natürliche Zahl finden, sagen wir m, sowie eine zugehörige Menge aller natürlichen Zahlen kleiner gleich m betrachten und hier die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Falls Du m > (1/z) wählst, ist die Auswahlwahrscheinlichkeit kleiner als die Auswahlwahrscheinlichkeit z aus den natürlichen Zahlen selber, im Widerspruch dazu, dass die Menge der natürlichen Zahlen kleiner gleich m eine echte Teilmenge der natürlichen Zahl ist. Vermutlich wirst Du noch irgendwo die Menge der natürlichen Zahlen kleiner gleich (m+1) betrachten müssen und eine geeignete vollständige Induktion drüberlegen, aber dann ist der Beweis hieb- und stichfest.


Um aber mal nach deiner Ausführung zu gehen müssten ja alle unendlichen Mengen Nullmengen sein.Mein lieber Sky Darmos, wenn ich ein Beispiel bringe, dass auch eine unendliche Menge eine Nullmenge sein kann, so heisst das noch lange nicht, dass alle unendlichen Mengen Nullmengen seien. Ausserdem muss man immer noch mit angeben, in Bezug auf was eine Menge eine Nullmenge ist.


Das Auswahlaxiom behauptet lediglich die Existenz einer solchen Auswahlfunktion ohne ihre Konstruktion zu ermöglichen. Ich bin zwar kein Anhänger des mathematischen Konstruktivismus, doch sehe ich nicht ein was für einen sinn dieses Axiom machen soll - vor allem wenn man wiederspruchsfrei darauf verzichten kann.Erst dieses Jahr wurde ein Gesetz gefunden, dass unterschiedliche Resultate aufweist, je nachdem ob man das Auswahlaxiom voraussetzt oder z.B. ein sogenanntes "schwaches Auswahlaxiom" in Kombination mit der axiomatisch geforderten Messbarkeit gewisser Funktionen. Die Widerspruchsfreiheit war bislang auch nur vermutet worden !

Ich frage mal zurück: Könnte man sich denn eine außerirdische Mathematik vorstellen, die unsere Modelle ganz anders sieht bzw. als falsch betrachtet?Ganz anders schon; falsch indes nicht (es sei denn, diese Ausserirdischen hätten einen der zu Beginn diskutierten Fehler in einem der "etablierten" Beweise entdeckt), da die Schlussfolgerungen ja auf Axiomen beruhen. Es kann aber sein, dass diese Auserirdischen völlig andere Axiome verwenden. Also ich will ein extreme Beispiel nennen: Vielleicht sind diese Ausserirdischen gar nicht auf Axiomen aufgebaut, sondern bestehen aus elektrischen Wellen; ich könnte mir vorstellen, dass solche "Lebewesen" einen ganz andere "Mathematik" benötigen als wir primitive, aus Atomen aufgebaute Lebewesen :)

Nicht falsch, aber unvollständig in dem Sinne dass es nicht den formalen Beweis aller Theoreme zulässt. Weiterhin unvollständig in dem Sinne dass nicht alle innerhalb des Systems konstruierbaren Sätze oder ihre Negationen, mit den Ableitungsregeln des Systems bewiesen werden können.

Das Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie existiert in der Riemanschen und der Lobatschewskischen Geometrie nicht mehr. Die entsprechenden Formalen Systeme unterscheiden sich also in ihren Axiomen voneinander. Das ist eine sehr schöne Begründung ! :)


Was aber immer gleich bleibt sind die Ableitungsregeln. Sie representieren die Absolute Logik. Deren triviale Regeln erstmals Aristoteles systematisch niedergeschrieben hat.Hmmm - also bezüglich der Herleitungsregeln (Ableitung könnte missverstanden werden) bin ich mir nicht so sicher. Das müsste man sich einmal in Ruhe und sehr gründlich überlegen.

Ich würde vermuten, dass die Ausserirdischen die selbe Mathematik benutzen sollten wie wir. Ich sehe die Mathemtaik von unserer Wahrnehmung entkoppelt. Genau deshalb können wir mit ihr Dinge beschreiben, die wir uns mit unserem Geist nicht vorstellen können (zB Mehrdimensionalität).Ich würde das auch vermuten, bin mir aber nicht sicher. :confused:

[prim_ass]

Das ist richtig, Irrtümer sind kaum auszuschliessen. Doch die "einfachen" Beweise werden von jungen hungrigen Studenten im Studium durchgeackert; dass sie alle auf den gleichen Trugschluss hineinfallen, ist unwahrscheinlich. Komplexere Beweise indes haben nicht so viele "Kontrolleure", dass hier könnte sich ein Irrtum leichter einschleichen. Doch diese Kontrolleure sind oftmals extrem ehrgeizig und lauern nur darauf, einen Fehler zu finden, um sich selber etablieren zu können. So gesehen ist die Wahrscheinlichkeit ebenfalls gering, dass sie einen Trugschluss übersehen.

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Beweise falsch sind, in der Tat echt grösser als 0 ! Allerdings dürfte diese Zahl sehr in der Nähe von 0 liegen :)


Selbst wenn Du die Wahrscheinlichkeit auf =0 bringen könntest, könnte immer noch ein Fehler vorhanden sein: Man kann aus einer Wahrscheinlichkeit 0 nicht auf die Nicht-Existenz eines Ereignisses schliessen. Das gilt nur bei endlichen Mengen !

Ein Beispiel möge das erläutern: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei der zufälligen Auswahl einer natürlichen Zahl die Zahl 12 zu treffen? Diese Wahrscheinlichkeit ist natürlich gleich 0. Und für alle natürlichen Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit gleich gross, d.h. gegeben eine natürliche Zahl n, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie gezogen wird, =0. Dennoch ist es sicher, dass bei der Auswahl eine natürliche Zahl getroffen wird.

Fazit: Trotz Wahrscheinlichkeit 0 tritt ein Ereignis ein !

Ja, auch die Wahrscheinlichkeit, aus der Menge der reellen Zahlen einen Bruch zu ziehen, ist gleich 0, und das, obgleich die Menge der rationalen Zahlen (d.h. der Brüche) sogar unendlich gross ist !

Man kann auch ein physikalisches Beispiel nehmen: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Luft-Moleküle des Raumes, indem ich mich befinde, zufällig in die rechte obere Ecke wandern und ich ersticke, ist zwar extrem gering und das Alter des Universums reicht um Zehnerpotenzen von Zehnerpotenzen nicht aus, um so ein Ereignis mit 50% Wahrscheinlichkeit eintreten zu lassen, aber sie ist echt grösser als 0 ;)

Nein, Kollege, da muss ich widersprechen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte natürliche Zahl zufällig aus der Menge der natürlichen Zahlen (die unendlich viele natürliche Zahlen enthält) ausgewählt wird, ist ungleich Null. Deine Behauptung, dass es gleich Null sein soll, müsstest Du beweisen.

Aus einer Grenzwertbetrachtung kann ich Dir zeigen, dass zwar der Grenzwert der Wahrscheinlichkeit die 0 ist, dieser Grenzwert wird aber nie erreicht. Mithin ist die Wahrscheinlichkeit stets größer Null.

(Ich wundere mich, dass Du für Deine Überlegung ausgerechnet N nimmst, die ja nur eine Mächtigkeit von aleph_null hat, so dass Deine Aussage noch leichter zu widerlegen ist. Für aleph_eins (zum Beispiel bei R) oder höher wäre die Idee der Nullwahrscheinlichkeit zwar schon nachvollziehbarer, aber immer noch mit dem gleichen Beweis zu widerlegen).

Der Beweis, dass zum Beispiel in N unendlich viele Primzahlen vorhanden sind, ist absolut gegeben und richtig und sicher.

[Sky Darmos]

Auch bei der Entwicklung des formalen Systemes besteht ein Restrisiko echt grösser 0, dass sich ein Irrtum einschleicht, der von allen Menschen übersehen wurde

Mir geht es um folgendes:
Als ich sagte dass Fehler bei logischen Schlussfolgerungen immer nur darauf beruhen dass man eine logische Operation übergeht, wollte ich damit zum Ausdruck bringen, dass man nur dann von etwas unlogischem überzeugt sein kann, wenn man die Argumentation nicht in all ihren Details aufgelöst hat. Das Aufstellen eines Beweises beruht ja ganz wesentlich auf der Tätigkeit des Bewusstseins. Bewusstsein liegt unserem Zugang zu mathematischer Wahrheit zugrunde. Diese Irrt nur dann wenn man einen logischen Schritt übergeht. Dann ist zwar alles gedachte immernoch logisch, gründet sich aber auf falschen Annahmen die auf der Übergehung eines logischen Schritts beruhen.


Ich verstehe nicht, warum Du eine physikalische Komponente ins Spiel bringst:

Deine Answahl ist eine physikalische Komponente. Vielleicht hab ich mich zu kompliziert ausgedrückt. Die sache ist einfach die dass deine rein mathematische Betrachtung uns eine FALSCHE wahrscheinlichkeit von Null bringt. Du kannst ja nicht sagen, ich kann eine Zahl auswählen obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür Null ist.
Über was diskutieren wir hier eigentlich?? Das wird dir doch auch klar sein. Ich weiss dass man rein mathematisch auf Null kommt, aber eine Auswahl erfolgt nunmal durch ein real exisiterendes Gerät oder einen Menschen und bei dem ist die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl einer natürlichen Zahl eben nicht für jede solche Zahl gleich groß.


Erst dieses Jahr wurde ein Gesetz gefunden, dass unterschiedliche Resultate aufweist, je nachdem ob man das Auswahlaxiom voraussetzt oder z.B. ein sogenanntes "schwaches Auswahlaxiom" in Kombination mit der axiomatisch geforderten Messbarkeit gewisser Funktionen. Die Widerspruchsfreiheit war bislang auch nur vermutet worden!

Könntest du bitte mal ausfühlich darauf eingehen was es mit diesem Auswahlaxiom auf sich hat?

[ralfkannenberg]

Nein, Kollege, da muss ich widersprechen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte natürliche Zahl zufällig aus der Menge der natürlichen Zahlen (die unendlich viele natürliche Zahlen enthält) ausgewählt wird, ist ungleich Null. Deine Behauptung, dass es gleich Null sein soll, müsstest Du beweisen.Die Beweis-Idee habe ich in meinem vorletzten Beitrag angedeutet.


Aus einer Grenzwertbetrachtung kann ich Dir zeigen, dass zwar der Grenzwert der Wahrscheinlichkeit die 0 ist, dieser Grenzwert wird aber nie erreicht. Mithin ist die Wahrscheinlichkeit stets größer Null.Ich würde mich sehr für diesen Wert > 0 interessieren - hier liegt m.E. noch eine Fieldsmedaille für Dich drin ! Also ok - ich argumentiere "klassisch", also ohne Hinzunahme der Nicht-Standard-Analysis; ich kann mir aber kaum vorstellen, dass sie ein anderes Resultat liefert.


Ich wundere mich, dass Du für Deine Überlegung ausgerechnet N nimmst, die ja nur eine Mächtigkeit von aleph_null hat, so dass Deine Aussage noch leichter zu widerlegen ist.Ich bevorzuge möglichst einfache Situationen.


Der Beweis, dass zum Beispiel in N unendlich viele Primzahlen vorhanden sind, ist absolut gegeben und richtig und sicher.Ich sehe keinen Zusammenhang zu vorigen Aussagen und der Nicht-Endlichkeit der Primzahlen.

[ralfkannenberg]

Das Aufstellen eines Beweises beruht ja ganz wesentlich auf der Tätigkeit des Bewusstseins. Bewusstsein liegt unserem Zugang zu mathematischer Wahrheit zugrunde.Auch wenn es modern ist, Bewusstseinskomponenten einzubringen und eine "ganzheitliche" Betrachtungsweise zu tätigen, möchte ich mich auf mathematische Aspekte beschränken.


Die sache ist einfach die dass deine rein mathematische Betrachtung uns eine FALSCHE wahrscheinlichkeit von Null bringt. Du kannst ja nicht sagen, ich kann eine Zahl auswählen obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür Null ist.Doch. Vielleicht habe ich mich aber falsch ausgedrückt und wir meinen dasselbe: Die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei der Auswahl einer beliebigen natürlichen Zahl die 12 treffe, ist gleich 0.


Ich weiss dass man rein mathematisch auf Null kommt, aber eine Auswahl erfolgt nunmal durch ein real exisiterendes Gerät oder einen Menschen und bei dem ist die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl einer natürlichen Zahl eben nicht für jede solche Zahl gleich groß.Ich diskutiere ja gar nicht über die Auswahl oder physikalische Möglichkeiten, solche Auswahl-Mechanismen zu "bauen". Das ist natürlich zweifelsohne ein hochinteressanter Aspekt, wobei ich das Gefühl habe, Du möchtest die natürlichen Zahlen "näherungsweise" auf eine endliche Menge reduzieren. Ich habe ja auch schon die Frage aufgeworfen, was es eigentlich bedeutet, aus einem Topf mit unendlichen vielen Elementen eins auszuwählen.


Könntest du bitte mal ausfühlich darauf eingehen was es mit diesem Auswahlaxiom auf sich hat?Leider nein, da muss ich auf Logik-Spezialisten verweisen. Das Auswahlaxiom ist alles andere als trivial. Man kann beweisen, dass es äquivalent zum Wohlordnungssatz und äquivalent zum Zorn'schen Lemma ist. - Ich kann aber versuchen, die Quelle zu meinem zitierten Resultat ausfindig zu machen.

[prim_ass]

Was hätte der konkrete Wert für eine Bedeutung?

Nein, Du meinst, dass die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte natürliche Zahl zufällig aus N zu ziehen gleich der Wahrscheinlichkeit sei, einen echten Bruch aus N zu ziehen.

Letztere Wahrscheinlichkeit ist exakt gleich 0.

Dieser Wert 0 entscheidet mithin darüber, ob ein Element der Menge vorliegt oder nicht.

Nur wenn ein beliebiges a nicht Element der Menge M ist, dann kann es nie zufällig aus M gezogen werden, die Wahrscheinlichkeit für diesen Vorgang ist exakt 0. Aber ein bestimmtes m in M kann mit einer Wahrscheinlichkeit w > 0 zufällig gezogen werden, allein schon deswegen, weil es in M existiert.

Interessant ist es aber, ob dieses w durch einen reellen Wert allein beschrieben werden kann. Genau da habe ich meine Zweifel...

(Übrigens: Den Fieldspreis lehne ich ab, da seine Verleihungskriterien nicht rein mathematisch sind, sondern auch das Alter des Betreffenden als ein Verleihungskriterium ansieht und nicht allein die mathematische Leistung, siehe zum Beispiel Andrew Wiles (nein, ich bin noch nicht 40, finde diese Einschränkung dennoch total daneben). Aber Du kannst mich mit dem Abel - Preis ködern...)

Mein Verweis auf den Primzahlbeweis bezog sich eher auf das allgemeine Thread-Thema, ob mathematische wirklich 100% sicher sein können, und da ist dieser beweis ein Beipsiel für (was jeder leicht nachvollziehen kann). Aber auch für unsere Fragestellung über die Nichtbestimmung eines konkreten Wertes, der aber sicher nicht 0 ist, kann dies herangezogen werden.

[Sky Darmos]

Auch wenn es modern ist, Bewusstseinskomponenten einzubringen und eine "ganzheitliche" Betrachtungsweise zu tätigen, möchte ich mich auf mathematische Aspekte beschränken.

Es geht doch hier gerade darum inwiefern ein von Menschen BEWUSST aufgestellter Beweis sicher ist. Bewusstsein ist ein zentraler Aspekt dieses Themas!


Doch. Vielleicht habe ich mich aber falsch ausgedrückt und wir meinen dasselbe: Die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei der Auswahl einer beliebigen natürlichen Zahl die 12 treffe, ist gleich 0.

Aber das ist doch absurd. Du hast doch als du diesen Satz geschrieben hast, auch gerade die Zahl 12 getroffen!


Ich diskutiere ja gar nicht über die Auswahl oder physikalische Möglichkeiten, solche Auswahl-Mechanismen zu "bauen". Das ist natürlich zweifelsohne ein hochinteressanter Aspekt, wobei ich das Gefühl habe, Du möchtest die natürlichen Zahlen "näherungsweise" auf eine endliche Menge reduzieren. Ich habe ja auch schon die Frage aufgeworfen, was es eigentlich bedeutet, aus einem Topf mit unendlichen vielen Elementen eins auszuwählen.

Was meinst du hier konkret mit einer Auswahl?? Wenn ich Auswahl sage, meine ich immer eine Auswahl die ein Mensch oder eine Maschine treffen kann. Worauf soll ich mich denn sonst beziehen? Auf ein höheres Wesen dass ohne Einschränkungen wählen kann? Für mich machen nur Auswahlwahrscheinlichkeiten einen Sinn die für ein real existierendes Wesen gelten können. Mag sein dass ein göttliches Wesen aufgrund seiner hypothetischen Unendlichkeit solche Answahlwahrscheinlichkeiten hätte. Aber gerade das beweist ja die widersprüchlichkeit der Existenz eines solchen Wesens. Aber ich komme vom Thema ab.

[ralfkannenberg]

Was hätte der konkrete Wert für eine Bedeutung?Den Wert würde ich ausserordentlich interessant finden !

Dieser Wert 0 entscheidet mithin darüber, ob ein Element der Menge vorliegt oder nicht.Diese Schlussfolgerung ist unzutreffend ! Sie wird nicht dadurch richtiger, dass Du behauptest, mich widerlegt zu haben bzw. meinen Beweis ignorierst !


Nur wenn ein beliebiges a nicht Element der Menge M ist, dann kann es nie zufällig aus M gezogen werden, die Wahrscheinlichkeit für diesen Vorgang ist exakt 0. Aber ein bestimmtes m in M kann mit einer Wahrscheinlichkeit w > 0 zufällig gezogen werden, allein schon deswegen, weil es in M existiert.Wie schon gesagt, diese Schlussfolgerung gilt nur für endliche Mengen !


Interessant ist es aber, ob dieses w durch einen reellen Wert allein beschrieben werden kann. Genau da habe ich meine Zweifel...Lies mal ein Buch über Nicht-Standard-Analysis; da werden auch Zahlen definiert, die den Absolutbetrag 0 haben, aber von 0 verschieden sind. Ich glaube aber nicht, dass die Nicht-Standard-Analysis hier zur Anwendung kommen kann.


Aber das ist doch absurd. Du hast doch als du diesen Satz geschrieben hast, auch gerade die Zahl 12 getroffen!Sehr interessanter und guter Aspekt. Damit aber reduzierst Du letztlich jede mit dem Bewusstsein erfasste unendliche Menge auf eine endliche Menge. Mit geeigneten mathematischen Methoden kann man aber neben den endlichen auch unendliche Mengen beschreiben, wobei man natürlich extrem grosse Sorgfalt und Vorsicht walten lassen muss !


dass Du für Deine Überlegung ausgerechnet N nimmst, die ja nur eine Mächtigkeit von aleph_null hatIn diesem Zusammenhang eine Vermutung von mir: Der algebraische Abschluss aller jemals von Menschen erdachten Zahlen ist abzählbar, also aleph_null. Hat jemand eine Beweisidee ? :)

[Kunibert]

Hallo,

könnt Ihr nicht einfach beim Thema bleiben ???

[Sky Darmos]

Sehr interessanter und guter Aspekt. Damit aber reduzierst Du letztlich jede mit dem Bewusstsein erfasste unendliche Menge auf eine endliche Menge. Mit geeigneten mathematischen Methoden kann man aber neben den endlichen auch unendliche Mengen beschreiben, wobei man natürlich extrem grosse Sorgfalt und Vorsicht walten lassen muss!

Sicher man erfasst mit dem bewusstsein einen Unendliche Menge indem man ihre allgemeine Eigenschaften erfasst. Ich will aber einfach mal nur wissen für was deine komische Wahrscheinlichkeit steht! Du sagst es sei die wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl aus N zu wählen, aber du gibst selbst zu dass diese Wahrscheinlichkeit nicht für einen Menschen gilt. Für was gilt sie denn bitte?? Wenn sie für nichts und niemanden gilt wie kannst du sie dann eine echte Wahrscheinlichkeit nennen?

[prim_ass]

Den Wert würde ich ausserordentlich interessant finden !
Diese Schlussfolgerung ist unzutreffend ! Sie wird nicht dadurch richtiger, dass Du behauptest, mich widerlegt zu haben bzw. meinen Beweis ignorierst !

Wie schon gesagt, diese Schlussfolgerung gilt nur für endliche Mengen !

Lies mal ein Buch über Nicht-Standard-Analysis; da werden auch Zahlen definiert, die den Absolutbetrag 0 haben, aber von 0 verschieden sind. Ich glaube aber nicht, dass die Nicht-Standard-Analysis hier zur Anwendung kommen kann.

Sehr interessanter und guter Aspekt. Damit aber reduzierst Du letztlich jede mit dem Bewusstsein erfasste unendliche Menge auf eine endliche Menge. Mit geeigneten mathematischen Methoden kann man aber neben den endlichen auch unendliche Mengen beschreiben, wobei man natürlich extrem grosse Sorgfalt und Vorsicht walten lassen muss !

In diesem Zusammenhang eine Vermutung von mir: Der algebraische Abschluss aller jemals von Menschen erdachten Zahlen ist abzählbar, also aleph_null. Hat jemand eine Beweisidee ? :)

Zunächst einmal ist R nicht abzählbar, zumal ich bestreite, dass sich Menschen Zahlen erdacht haben, sondern sie haben sie nur gefunden.

Ich ignoriere nicht irgend einen Bewis von Dir, sondern ich stelle fest, dass Du keinen Beweis gebracht hast.

Und nochmals: Deine Behauptung, dass bei einer unendlichen Menge die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Element dieser Menge auszuwählen 0 wäre, ist mathematisch nicht bewiesen. Exakt 0 kann die Wahrscheinlichkeit nur dann sein, wenn das Ereignis per se nicht eintreten kann. Da dies aber nun einmal prinzipiell eintreten kann -egal ob es unendlich viele Elemente gibt- ist die Wahrscheinlichkeit auch nicht exakt gleich 0.

[prim_ass]

Ein Beispiel möge das erläutern: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei der zufälligen Auswahl einer natürlichen Zahl die Zahl 12 zu treffen? Diese Wahrscheinlichkeit ist natürlich gleich 0.


Das Behauptest Du. Warum soll die Wahrscheinlichkeit =0 sein? Die wahrscheinlichkeit ist natürlich nicht gleich 0.



Und für alle natürlichen Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit gleich gross, d.h. gegeben eine natürliche Zahl n, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie gezogen wird, =0.


Du belegst Deine Behauptung, indem Du Deine Behauptung nur anders formulierst. Was soll das für ein "Beweis" sein? Jedenfalls kein mathematischer...

Nein, die Wahrscheinlichkeit ist "natürlich" nicht exakt 0.



Dennoch ist es sicher, dass bei der Auswahl eine natürliche Zahl getroffen wird.

Fazit: Trotz Wahrscheinlichkeit 0 tritt ein Ereignis ein !


Dein Fazit aus Deiner Behauptung ist auch nur eine Behauptung. Nein, Deine Aussagen sind nicht korrekt.

Deine "Beispiele", die zudem noch falsch sind, ändern nichts an die Inkorrektheit Deiner Behauptungen.

Ich empfehle Dir meinerseits ein Buch über Aussagenlogik.

[prim_ass]

Sicher man erfasst mit dem bewusstsein einen Unendliche Menge indem man ihre allgemeine Eigenschaften erfasst. Ich will aber einfach mal nur wissen für was deine komische Wahrscheinlichkeit steht! Du sagst es sei die wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl aus N zu wählen, aber du gibst selbst zu dass diese Wahrscheinlichkeit nicht für einen Menschen gilt. Für was gilt sie denn bitte?? Wenn sie für nichts und niemanden gilt wie kannst du sie dann eine echte Wahrscheinlichkeit nennen?

Kannst Du mir in diesem Zusammenhang noch mal die Bewusstseinsebene genauer erklären? Vielleicht haben wir hier einen Schlüssel gefunden, wo ich Deine Bewusstseins-Ideen verstehen kann.

Jedenfalls legst Du bei rafkannenbergs "Wahrscheinlichkeiten" den Finger sehr zielgerichtet in die Wunde...

[Sky Darmos]

Kannst Du mir in diesem Zusammenhang noch mal die Bewusstseinsebene genauer erklären? Vielleicht haben wir hier einen Schlüssel gefunden, wo ich Deine Bewusstseins-Ideen verstehen kann.

Bewusstsein spielt hier beim Thema des Threads eine große Rollen, bei meinem Einwand gegen Ralfs Behauptung bezüglich der "Wahrscheinlichkeit" spielt es jedoch keine Rolle. Man kann hier den Menschen durch jeden endlichen Apperat ersetzen. In jedem Fall wird die Wahrscheinlichkeit nicht für jede Zahl gleich groß sein, da verschiede Zahlen verschiedenen Zuständen des Apperats entsprechen und keinesfalls alle Zustände gleich wahrscheinlich sein können. Mit der Größe der Zahl muss diese Wahrscheinlichkeit in jedem Fall abnehmen.

[ralfkannenberg]

Das Behauptest Du. Warum soll die Wahrscheinlichkeit =0 sein? Die wahrscheinlichkeit ist natürlich nicht gleich 0.



Du belegst Deine Behauptung, indem Du Deine Behauptung nur anders formulierst. Was soll das für ein "Beweis" sein? Jedenfalls kein mathematischer...

Nein, die Wahrscheinlichkeit ist "natürlich" nicht exakt 0.



Dein Fazit aus Deiner Behauptung ist auch nur eine Behauptung. Nein, Deine Aussagen sind nicht korrekt.

Deine "Beispiele", die zudem noch falsch sind, ändern nichts an die Inkorrektheit Deiner Behauptungen.

Ich empfehle Dir meinerseits ein Buch über Aussagenlogik.Mein lieber prim_ass, wenn es Dir Spass macht, unsachlich zu argumentieren, dann sage mir das bitte von vornherein, dann kann ich mir meine Zeit nämlich sparen. :mad:
Dass Du meine Aussagen, die ich - zugegebenerweise - in verschiedenen Beiträgen wiederholt habe - so zusammenwürfelst, dass Du mir einen "Beweis" unterstellst und mir anschliessend die Lektüre eines Logikbuches vorschlägst, ist schlicht unverschämt !

Hier also nochmal der Beweis, auch wenn er nicht ausformuliert ist:

Ich verstehe nicht, warum Du eine physikalische Komponente ins Spiel bringst: Du kannst ohne jede Physik und auch ohne das Wort "unendlich" zu verwenden beweisen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl aus den nat&#252;rlichen Zahlen auszuw&#228;hlen, gleich 0 ist. W&#228;re sie n&#228;mlich echt gr&#246;sser als 0, sagen wir z, k&#246;nntest Du eine nat&#252;rliche Zahl finden, sagen wir m, sowie eine zugeh&#246;rige Menge aller nat&#252;rlichen Zahlen kleiner gleich m betrachten und hier die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Falls Du m > (1/z) w&#228;hlst, ist die Auswahlwahrscheinlichkeit kleiner als die Auswahlwahrscheinlichkeit z aus den nat&#252;rlichen Zahlen selber, im Widerspruch dazu, dass die Menge der nat&#252;rlichen Zahlen kleiner gleich m eine echte Teilmenge der nat&#252;rlichen Zahl ist. Vermutlich wirst Du noch irgendwo die Menge der nat&#252;rlichen Zahlen kleiner gleich (m+1) betrachten m&#252;ssen und eine geeignete vollst&#228;ndige Induktion dr&#252;berlegen, aber dann ist der Beweis hieb- und stichfest.Du brauchst &#252;brigens weder die Menge {n in IN mit n<(m+1)} betrachten noch eine vollst&#228;ndige Induktion dr&#252;berzulegen. Allerdings gibt es einen "Schwachpunkt" im Beweis, aber nicht in der Aussage, und zwar bei den Wahrscheinlichkeiten der Auswahl eines Elementes aus der Menge und aus einer echten Teilmenge dieser Menge; ich vermute aber, dass man bei der Betrachtung der Differenzmenge dann Wahrscheinlichkeiten aufaddieren kann (und zwar zu 1) und daraus wird man dann die Ungleichung herleiten k&#246;nnen, n&#228;mlich dass die Auswahlwahrscheinlichkeit aus einer echten Teilmenge gr&#246;sser oder gleich der Auswahlwahrscheinlichkeit aus der Gesamtmenge ist, wohlbemerkt unter der Voraussetzung, dass die Wahrscheinlichkeit, ausgew&#228;hlt zu werden, f&#252;r jedes Element gleich gross ist. Das "gr&#246;sser gleich" ist nicht st&#246;rend, da m echt gr&#246;sser als 1/z w&#228;hlbar ist; ohne Einschr&#228;nkung der Allgemeinheit k&#246;nnte man
m = int[(2/z)]+2 w&#228;hlen, dann sollte der Widerspruch in jedem Fall klappen.
Wenn Du es w&#252;nschst, kann ich Dir den Beweis auch noch ausformulieren, aber eigentlich solltest Du selber dazu in der Lage sein.

Der Einwand von Sky Darmos &#252;brigens ist doch genau der, dass seiner Meinung nach die Wahrscheinlichkeit, ausgew&#228;hlt zu werden, f&#252;r jedes Element nicht gleich gross sein kann. Tats&#228;chlich ist es so, dass alle jemals von Menschen konkret erdachten oder von einer Rechenmaschine in einem Speicher konkret abgelegten nat&#252;rlichen Zahlen nur eine endliche Menge bilden k&#246;nnen; dass dann die Wahrscheinlichkeiten echt gr&#246;sser als 0 werden, habe ich ja auch nie bezweifelt. Nur hat dieses Statement mit meiner urspr&#252;nglichen Aussage nichts mehr zu tun.



Zun&#228;chst einmal ist R nicht abz&#228;hlbarIch verstehe nicht, warum Du immer wieder IR und aleph's ins Rennen bringst und zudem mir unterschwellig vorwirfst, ich h&#228;tte behauptet, IR sei abz&#228;hlbar ! Bleib' doch beim einfachen Fall von IN !

[Sky Darmos]

Jedenfalls legst Du bei rafkannenbergs "Wahrscheinlichkeiten" den Finger sehr zielgerichtet in die Wunde...

Sowas is hier n bissl Fehl am Platz...

[ralfkannenberg]

Ich will aber einfach mal nur wissen f&#252;r was deine komische Wahrscheinlichkeit steht!Endlich endlich - das ist vermutlich genau der Punkt :) : Diese Wahrscheinlichkeit steht n&#228;mlich f&#252;r nichts ! Ich wollte damals nur darauf hinweisen, dass man auch aus einer Wahrscheinlichkeit = 0 nicht schliessen kann, ob ein Ereignis eintreten kann oder nicht ! - Wahrscheinlichkeiten sind nicht das geeignete Mittel, um eine Aussage &#252;ber die Zugeh&#246;rigkeit eines Elementes zu einer Menge zu gewinnen und ebensowenig sind Wahrscheinlichkeiten das geeignete Mittel, um die Richtigkeit eines Beweises zu ermitteln !

Nun aber eine Frage zu Deinen Ideen: Die Menge aller jemals von Menschen konkret erdachten oder in irgendeinem einem Speicher einer Rechenmaschine konkret abgelegten nat&#252;rlichen Zahlen ist selbstverst&#228;ndlich endlich und dann werden die Wahrscheinlichkeiten ebenso selbstverst&#228;ndlich echt gr&#246;sser als 0.

Dann kann man aber auch folgende Zahlen definieren:
n_min = kleinste nat&#252;rliche Zahl, die noch nie von einem Menschen oder einer Maschine verwendet worden ist
n_max = gr&#246;sste nat&#252;rliche Zahl, die je von einem Menschen oder einer Maschine verwendet worden ist

Was meinst Du ? In welcher Gr&#246;ssenordnung sind diese beiden Zahlen zu erwarten ?


Sowas is hier n bissl Fehl am Platz...Ganz im Gegenteil - das gibt Anlass, irrt&#252;mliche Auffassungen richtig zu stellen. Und ich habe auch wirklich nichts dagegen einzuwenden, wenn ich hier etwas lernen kann:


Du hast doch als du diesen Satz geschrieben hast, auch gerade die Zahl 12 getroffen!Das ist meiner Einsch&#228;tzung nach immer noch die beste Feststellung in dieser Diskussion, und ich habe mir ja auch schon einige - erst sehr rudiment&#228;re - Gedanken zu einer Verallgemeinerung gemacht ! :)

[prim_ass]

Hier also nochmal der Beweis, auch wenn er nicht ausformuliert ist:
Du brauchst übrigens weder die Menge {n in IN mit n<(m+1)} betrachten noch eine vollständige Induktion drüberzulegen. Allerdings gibt es einen "Schwachpunkt" im Beweis, aber nicht in der Aussage, und zwar bei den Wahrscheinlichkeiten der Auswahl eines Elementes aus der Menge und aus einer echten Teilmenge dieser Menge; ich vermute aber, dass man bei der Betrachtung der Differenzmenge dann Wahrscheinlichkeiten aufaddieren kann (und zwar zu 1) und daraus wird man dann die Ungleichung herleiten können, nämlich dass die Auswahlwahrscheinlichkeit aus einer echten Teilmenge grösser oder gleich der Auswahlwahrscheinlichkeit aus der Gesamtmenge ist, wohlbemerkt unter der Voraussetzung, dass die Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden, für jedes Element gleich gross ist. Das "grösser gleich" ist nicht störend, da m echt grösser als 1/z wählbar ist; ohne Einschränkung der Allgemeinheit könnte man
m = int[(2/z)]+2 wählen, dann sollte der Widerspruch in jedem Fall klappen.
Wenn Du es wünschst, kann ich Dir den Beweis auch noch ausformulieren, aber eigentlich solltest Du selber dazu in der Lage sein.



Ich weiß wirklich nicht, warum Du Dich aufregst, ich sei unsachlich, und man dann sowas als "Beweis" präsentierst (hab ich vorher übrigens nicht gesehen), was noch viel arger ist:

Du tust genau das, was Du an anderer Stelle selbst schon angemahnt hast: Man darf nicht endliche mit unendliche Mengen vergleichen.

Der Fehler liegt darin, dass Du einfach eine endliche Menge bin m wählst und diese dann als Teilmenge untersuchst, aber damit Vergleichst Du Äpfel mit Birnen.

Um einen Widerspruch zu konstruieren, musst Du eine kongruente Teilmenge wählen, und von dieser dann eine widersprüchliche Wahrscheinlichkeit berechnen.

Das heißt: Deine zu betrachtende Teilmenge muss selbst unendlich viele Elemente besitzen. Also wenn Du eine Teilmenge aus IN konstruierst, mit unendlich vielen Elementen (Beispiel IP aus IN, oder IU aus IN oder eben eine spezielle Konstruktionsmenge mit unedlich vielen Elementen), dann wäre Deine Aussage stichhaltig. Aber Du "reduzierst" ja nur IN auf eine endliche Teilmenge von IN, die nicht mehr kongruent zu IN sein kann.

Nein, so funktioniert der Widerspruchsbeweis nicht.

Ja, neben dem Logikbuch empfehle ich dann noch Mengenlehre.

[Sky Darmos]

Was meinst Du ? In welcher Grössenordnung sind diese beiden Zahlen zu erwarten ?

Also so wie ich die Definition verstanden hab sind die Zahlen gleich.
Also wenn du prinzipiell wissen willst unter wievielen Zahlen ein realer Apperat wählen kann musst du nur jedem Quantenzustand eine Zahl zuordnen. Wenn du dann etwa Teilchenkonfigurationen betrachtest musst du sie so abzählen dass du Konfigurationen mit Abstandsdifferenzen, die sich um weniger als der Planck-Länge unterscheiden als gleich betrachtest.

[ralfkannenberg]

Ich wei&#223; wirklich nicht, warum Du Dich aufregst, ich sei unsachlich, und man dann sowas als "Beweis" pr&#228;sentierst (hab ich vorher &#252;brigens nicht gesehen), was noch viel arger ist:

Du tust genau das, was Du an anderer Stelle selbst schon angemahnt hast: Man darf nicht endliche mit unendliche Mengen vergleichen.

Der Fehler liegt darin, dass Du einfach eine endliche Menge bin m w&#228;hlst und diese dann als Teilmenge untersuchst, aber damit Vergleichst Du &#196;pfel mit Birnen.

Um einen Widerspruch zu konstruieren, musst Du eine kongruente Teilmenge w&#228;hlen, und von dieser dann eine widerspr&#252;chliche Wahrscheinlichkeit berechnen.

Das hei&#223;t: Deine zu betrachtende Teilmenge muss selbst unendlich viele Elemente besitzen. Also wenn Du eine Teilmenge aus IN konstruierst, mit unendlich vielen Elementen (Beispiel IP aus IN, oder IU aus IN oder eben eine spezielle Konstruktionsmenge mit unedlich vielen Elementen), dann w&#228;re Deine Aussage stichhaltig. Aber Du "reduzierst" ja nur IN auf eine endliche Teilmenge von IN, die nicht mehr kongruent zu IN sein kann.

Nein, so funktioniert der Widerspruchsbeweis nicht.

Ja, neben dem Logikbuch empfehle ich dann noch Mengenlehre.Sag mal, wieviel Ahnung hast Du von elementarer Mathematik ?!

Offenbar muss man alles ausformulieren, weil Du die Zusammenh&#228;nge nicht verstehst und dann Widerspr&#252;che "erkennst", wo gar keine sind. Aber ok, ich werde das heute abend tun, in m&#246;glichst wenigen Zeilen. Und dann kannst Du meinetwegen einen Fehler suchen und wenn Du einen findest, werde ich ihn mir zu Herzen nehmen. Ja, ich werde Dir sogar zeigen, wo ich eine m&#246;gliche Ungenauigkeit sehe !!

Aber eines vorweg: Ich vergleiche 1.) keine &#196;pfel mit Birnen und 2.) sehe ich keinen Grund, warum ich eine "kongruente" Teilmenge (was auch immer das sein soll) w&#228;hlen "muss": Wenn ich Dir eine Gr&#246;ssenrelation in Abh&#228;ngigkeit einer Teilmengen-Relation beweisen kann, so ist das gen&#252;gend !

@Dilaton: Ich frage mich wirklich, warum ich so bl&#246;d bin und soviel Zeit in solche Sachen investiere !!! :(

@alle: Was ist so schwer daran zu begreifen, dass der Begriff der Wahrscheinlichkeit ungeeignet ist, um die Zugeh&#246;rigkeit eines Elementes zu einer Menge zu beschreiben ? Kann mir jemand diese Frage mal beantworten ???

[ralfkannenberg]

Also so wie ich die Definition verstanden hab sind die Zahlen gleich.
Also wenn du prinzipiell wissen willst unter wievielen Zahlen ein realer Apperat wählen kann musst du nur jedem Quantenzustand eine Zahl zuordnen. Wenn du dann etwa Teilchenkonfigurationen betrachtest musst du sie so abzählen dass du Konfigurationen mit Abstandsdifferenzen, die sich um weniger als der Planck-Länge unterscheiden als gleich betrachtest.



n_min = kleinste natürliche Zahl, die noch nie von einem Menschen oder einer Maschine verwendet worden ist
n_max = grösste natürliche Zahl, die je von einem Menschen oder einer Maschine verwendet worden istDie sind doch nicht gleich !
Nehmen wir die Zahl 10^(10^(10^(10))). Die habe ich nun niedergeschrieben und die ist ziemlich gross. Vielleicht bin ich der erste, der so eine grosse Zahl niedergeschrieben hat (glaube ich allerdings nicht).
Dennoch bin ich sicher, dass es viel kleinere Zahlen gibt, an die noch nie jemand gedacht hat, vielleicht (200! - 241), und die noch in keiner Berechnung vorgekommen sind.

10^(10^(10^(10))) wäre dann ein Kandidat für n_max und 200! - 241 ein Kandidat für n_min. Natürlich sind beide Zahlen für praktische Anwendungen völlig ohne Relevanz.

[Sky Darmos]

Dennoch bin ich sicher, dass es viel kleinere Zahlen gibt, an die noch nie jemand gedacht hat, vielleicht (200! - 241), und die noch in keiner Berechnung vorgekommen sind.

achso...ja is klar...

[prim_ass]

Aber eines vorweg: Ich vergleiche 1.) keine Äpfel mit Birnen und 2.) sehe ich keinen Grund, warum ich eine "kongruente" Teilmenge (was auch immer das sein soll) wählen "muss": Wenn ich Dir eine Grössenrelation in Abhängigkeit einer Teilmengen-Relation beweisen kann, so ist das genügend !



Nein, nicht wenn Du unendliche Mengen mit endlichen vergleichst...

Deine "Formulierungen" reichen mir schon, um zu erkennen, dass Dein so konstruierter Wahrscheinlichkeitsbegriff nichts mit dem mathematischem Begriff der Wahrscheinlichkeit zu tun hat, wie er eingeführt ist.

Nein, Deine Relationen, die Du herzustellen versuchst, sind eben im vorliegenden Fall unzulässig.

Um Dir auf die Sprünge zu helfen, folgende Gegenfrage:

Sei IN gegeben.

Ferner ein bestimmtes Stellenwertsystem S zur Darstellung der Elemente in IN.

Wie groß ist nach Deiner speziellen Berechnung die "Wahrscheinlichkeit", dass eine zufällig ausgewähltes n aus IN die Stellenanzahl S(n) = s hat?

Wir suchen also nicht mehr genau eine Zahl n, sondern die Wahrscheinlichkeit der zufälligen Ziehung einer Zahl n' mit S(n') = S(n) = s, wobei natürlich u.U. auch n = n' sein darf, aber eben nicht muss.

Wenn Du konsequent bist, dann müsste Deine Rechznung auch die Wahrscheinlichkeit 0 angeben, also als ob Du exakt nach n gefragt hättest.

Aber hier besteht dann aus Deinen Rechnungen ein Widerspruch.
Bedenke: Die Anzahl s lässt sich variieren, so dass Du jedesmal die "Wahrscheinlichkeit" 0 erhältst, wenn die die unendliche Anzahl der Elemente von IN berücksichtigst. Dein Wahrscheinlichkeitsbegriff kennt keine Abstufung vor dem Hintergrund von Mengen mit unendlicher Elementenanzahl...

Deine "Wahrscheinlichkeitsrechnung" ist falsch!

[ralfkannenberg]

Notation: Sei a ein Element der Menge M. Dann sei p(a;M) die Wahrscheinlichkeit, aus der Menge M das Element a auszuw&#228;hlen.

Hilfssatz: Sei T eine echte nicht-leere Teilmenge einer Menge M.
Dann gilt: p(a;M) <= p(a;T)

Beweis: F&#252;r jedes a in T gilt auch a in M. Aber es k&#246;nnte a in der Differenzmenge M\T sein. Dadurch "erh&#246;ht" sich die Anzahl der M&#246;glichkeiten f&#252;r p(a;M) = p(a;T U M\T), wodurch die umgekehrt proportionalen Wahrscheinlichkeiten nicht erh&#246;hen werden k&#246;nnen. Somit sind sie also kleiner oder gleich.


Satz: F&#252;r alle n in IN gilt: p(n;IN) = 0

Beweis: Sei p(n;IN) = z > 0. W&#228;hle m in IN so, dass m > (1/z) + 1 gilt.
Betrachte nun die Menge T = {n in IN mit n <= m}. Dann gilt p(n;T) = 1/m < z/(z+1) < z = p(n;IN), also p(n;T) < p(n;IN), im Widerspruch zum Hilfssatz, dass p(n;IN) <= p(n;T), da T eine echte nicht-leere Teilmenge von IN ist.


Bemerkung: Der Beweis kommt ohne die Verwendung des Wortes "unendlich" aus.

Anmerkung: Vielleicht sieht ein anderer Diskussionsteilnehmer einen eleganteren Beweis des Hilfssatzes.

[prim_ass]

Notation: Sei a ein Element der Menge M. Dann sei p(a;M) die Wahrscheinlichkeit, aus der Menge M das Element a auszuwählen.

Hilfssatz: Sei T eine echte nicht-leere Teilmenge einer Menge M.
Dann gilt: p(a;M) <= p(a;T)

Beweis: Für jedes a in T gilt auch a in M. Aber es könnte a in der Differenzmenge M\T sein. Dadurch "erhöht" sich die Anzahl der Möglichkeiten für p(a;M) = p(a;T U M\T), wodurch die umgekehrt proportionalen Wahrscheinlichkeiten nicht erhöhen werden können. Somit sind sie also kleiner oder gleich.


Satz: Für alle n in IN gilt: p(n;IN) = 0

Beweis: Sei p(n;IN) = z > 0. Wähle m in IN so, dass m > (1/z) + 1 gilt.
Betrachte nun die Menge T = {n in IN mit n <= m}. Dann gilt p(n;T) = 1/m < z/(z+1) < z = p(n;IN), also p(n;T) < p(n;IN), im Widerspruch zum Hilfssatz, dass p(n;IN) <= p(n;T), da T eine echte nicht-leere Teilmenge von IN ist.


Bemerkung: Der Beweis kommt ohne die Verwendung des Wortes "unendlich" aus.

Anmerkung: Vielleicht sieht ein anderer Diskussionsteilnehmer einen eleganteren Beweis des Hilfssatzes.

Falsch!

Du beweist lediglich, dass p(n;IN) nicht definiert ist.

p(n;IN) = 0 ergibt sich nicht, da es unzulässig ist, eine unendliche Menge durch endliche echte Teilmengen abzuschätzen. Ob das Wort "unendlich" in Deinem "Beweis" vorkommt ist egal, es steckt ja in IN drin. Allein dieser Hinweis "in meinem Beweis kommt das Wort unendlich nicht vor" ist schon sowas von unmathematisch, dass man nur den Kopf schütteln kann. Solche "Beweise" habe ich schon zu genüge geprüft und verworfen.

Nein, ich habe mit meiner Gegenfrage schon die Schwäche Deiner Methode aufgezeigt. Was Du braucht ist eine neue Maßtheorie für Mengen mit unendlich vielen Elementen. Mit dieser neuen Maßtheorie kann man dann eine Wahrscheinlichkeitsrechnung in Angriff nehmen. Die bisherige Definition ist unzureichend.

[ralfkannenberg]

(...) lediglich, dass p(n;IN) nicht definiert ist.
Mithin ist die Wahrscheinlichkeit stets gr&#246;&#223;er Null.Ich finde es erfreulich, dass Du Deine Meinung vom Beitrag #18 dahingehend modifiziert hast, dass diese Wahrscheinlichkeit nicht mehr echt gr&#246;sser als Null ist, sondern "nicht definiert" ist. Das gef&#228;llt mir schon viel besser.


Nun aber noch zu Deinen "Aussagen" im Einzelnen:

Falsch!

Du beweist lediglich, dass p(n;IN) nicht definiert ist.Also diese Feststellung ist nun v&#246;llig unzutreffend ! Selbst wenn mein Beweis falsch ist, so ist allenfalls keine Aussage m&#246;glich, aber das ist ganz gewiss kein Beweis, dass p(n;IN) nicht definiert ist. Das ist eben das Problem: Du argumentierst ausserordentlich ungenau und empfiehlst dann anderen Leuten, sie sollen sich ein Buch &#252;ber Logik oder Mengenlehre kaufen !


da es unzul&#228;ssig ist, eine unendliche Menge durch endliche echte Teilmengen abzusch&#228;tzen.Davon ist mir 1.) nichts bekannt und 2.) ist das Wort "absch&#228;tzen" in diesem Zusammenhang nicht definiert.


Ob das Wort "unendlich" in Deinem "Beweis" vorkommt ist egal, es steckt ja in IN drin.Genau ! Ich darf mich hier auf die Peano-Axiome berufen. - Und wenn Du schon so ins Detail gehst - was ich &#252;brigens sehr begr&#252;sse ! - dann k&#246;nntest Du noch darauf hinweisen, dass in der Formulierung "f&#252;r alle" ebenfalls die Unendlichkeit verpackt ist ! Ja, hier k&#246;nnte ein Philosoph sogar mit Aussicht auf Erfolg versuchen, die Mathematik aus den Angeln zu heben !


Allein dieser Hinweis "in meinem Beweis kommt das Wort unendlich nicht vor" ist schon sowas von unmathematisch, dass man nur den Kopf sch&#252;tteln kann. Mein Hinweis ist im Gegenteil sehr mathematisch: Statt mit Unendlichkeiten und alephs um mich zu werfen, bediene ich mich der "l&#228;stigen" Epsilontik, in der alles endlich ist !


Solche "Beweise" habe ich schon zu gen&#252;ge gepr&#252;ft und verworfen.Ich will nicht verschweigen, dass es mir sehr schwer f&#228;llt, das zu glauben.


Was Du braucht ist eine neue Ma&#223;theorie f&#252;r Mengen mit unendlich vielen Elementen.Hast Du verstanden, was Masstheorie ist oder hast Du das Wort nur so aufgeschnappt ? Kleiner Tipp: Welchen Sinn soll eine "alte" Masstheorie auf endlichen Mengen machen ?


Nein, ich habe mit meiner Gegenfrage schon die Schw&#228;che Deiner Methode aufgezeigt.N&#246;. Aber dies ist ein Diskussionsforum und vielleicht findest Du bessere Argumente.

[prim_ass]

Ich finde es erfreulich, dass Du Deine Meinung vom Beitrag #18 dahingehend modifiziert hast, dass diese Wahrscheinlichkeit nicht mehr echt grösser als Null ist, sondern "nicht definiert" ist. Das gefällt mir schon viel besser.


Nun aber noch zu Deinen "Aussagen" im Einzelnen:
Also diese Feststellung ist nun völlig unzutreffend ! Selbst wenn mein Beweis falsch ist, so ist allenfalls keine Aussage möglich, aber das ist ganz gewiss kein Beweis, dass p(n;IN) nicht definiert ist. Das ist eben das Problem: Du argumentierst ausserordentlich ungenau und empfiehlst dann anderen Leuten, sie sollen sich ein Buch über Logik oder Mengenlehre kaufen !

Davon ist mir 1.) nichts bekannt und 2.) ist das Wort "abschätzen" in diesem Zusammenhang nicht definiert.

Genau ! Ich darf mich hier auf die Peano-Axiome berufen. - Und wenn Du schon so ins Detail gehst - was ich übrigens sehr begrüsse ! - dann könntest Du noch darauf hinweisen, dass in der Formulierung "für alle" ebenfalls die Unendlichkeit verpackt ist ! Ja, hier könnte ein Philosoph sogar mit Aussicht auf Erfolg versuchen, die Mathematik aus den Angeln zu heben !

Mein Hinweis ist im Gegenteil sehr mathematisch: Statt mit Unendlichkeiten und alephs um mich zu werfen, bediene ich mich der "lästigen" Epsilontik, in der alles endlich ist !

Ich will nicht verschweigen, dass es mir sehr schwer fällt, das zu glauben.

Hast Du verstanden, was Masstheorie ist oder hast Du das Wort nur so aufgeschnappt ? Kleiner Tipp: Welchen Sinn soll eine "alte" Masstheorie auf endlichen Mengen machen ?

Nö. Aber dies ist ein Diskussionsforum und vielleicht findest Du bessere Argumente.

Wie Du die Dinge aus dem Zusammenhang reißt...

Natürlich kann ich auf Deine Unscharfen Formulierungen auch nur entsprechend eingehen. Und natürlich habe ich mich auf Deine Form des "Beweises" berufen, unter dieser Prämisse "beweist" der von Dir konstruierte Widerspruch lediglich, dass man es so, wie Du es eben versuchst, nicht definiert ist. Hätte also im Zusammenhang mit Deinem "Beweis" eben die Anführungsstriche benutzen sollen, ok.

Nein, rein formal bleibe ich dabei, dass eine korrekt gefasste Wahrscheinlichkeit eben nicht exakt 0 ist. Aber ja: Das ist zunächst nur eine Behauptung. Jedenfalls ist Dein Beweis von p(n,IN)=0 eben inkorrekt.

Zu allem weiteren: Naja, aus Deinen formulierungen kann ich nicht erkennen, dass Du ein mathematisches Studium abgeschlossen hast und Du unterstellst mir ähnliches... Nun, ich kann damit leben und verdiene als Mathematiker meine Brötchen und das reicht mir...

Daher stelle ich nochmals fest:

Deine Behauptung p(n,IN) = 0 konntest Du nicht beweisen, obwohl Du genau dies hier angekündigt hast.

Zur Prüfung: Mir wollen Leute stets zeigen, dass sie beweisen könnten, es gäbe unendlich viele Primzahlzwillinge und dort argumentieren sie methodisch genauso inkorrekt, wie Du es hier gezeigt hast. Nur das diese Leute nicht von sich behaupten ausgebildete Mathematiker zu sein. Daher nehme ich bei diesen auch die Entrüstung nicht so ernst, wenn sie mein Urteil nicht anerkennen wollen. Im übrigen darf ich daran erinnern, dass Du damit anfingst mir ein Mathebuch zu empfehlen, also darfst Du Dich nicht wundern, dass wenn Du Sturm erntest, wenn Du Wind machst (als Gottgläubiger und Bibelkenner solltest Du das eigentlich verinnerlicht haben). Wer anderen Unsachlichkeit vorwirft, sollte erst einmal nicht mit solchen Einwürfen beginnen. Aber so kennen wir das: Was ich selber denk und tu, das trau ich einem anderen zu...

Damit ist für mich diese Diskussion beendet.

[ralfkannenberg]

Wie Du die Dinge aus dem Zusammenhang rei&#223;t...Och nein, nicht schon wieder ...

Nein, rein formal bleibe ich dabei, dass eine korrekt gefasste Wahrscheinlichkeit eben nicht exakt 0 ist. Aber ja: Das ist zun&#228;chst nur eine Behauptung.Ach ... - jetzt ist es nur noch eine "Behauptung". Das t&#246;nte aber auch schon anders !!


Zu allem weiteren: Naja, aus Deinen formulierungen kann ich nicht erkennen, dass Du ein mathematisches Studium abgeschlossen hastDein Problem ! Wenn Du Zweifel hast, kannst Du die ETH Z&#252;rich anfragen, wer 1988 alles ein Diplom gemacht hat.

und Du unterstellst mir &#228;hnliches...Das ist aufgrund Deiner Aussagen, Deinen Ablenkungs-Fragen, Deiner Neigung, weitere Aspekte in die Diskussion zu bringen, die nichts mit der Fragestellung zu tun haben, gewisser Ungenauigkeiten sowie Deiner Methodik bedauerlicherweise nicht vermeidbar.


Damit ist f&#252;r mich diese Diskussion beendet.Gott sei Dank ! :mad:

[ralfkannenberg]

Im &#252;brigen darf ich daran erinnern, dass Du damit anfingst mir ein Mathebuch zu empfehlen, also darfst Du Dich nicht wundern, dass wenn Du Sturm erntest, wenn Du Wind machst (als Gottgl&#228;ubiger und Bibelkenner solltest Du das eigentlich verinnerlicht haben).Hilf mir bitte mal auf die Spr&#252;nge !

Ich finde nur einen Eintrag von mir, und da habe ich die Idee, ein Nicht-Standard-Analysis-Buch anzuschauen. Und nur einen Satz sp&#228;ter schreibe ich, dass es da zwar von 0 verschiedene Zahlen mit einem Absolutbetrag = 0 gibt, die aber meiner Einsch&#228;tzung nach eher nicht zur Probleml&#246;sung geeignet sind. Das war ein gut gemeinter Hinweis, denn das ist wirklich ein Spezialgebiet, auf dem - zumindest ich - mich kaum auskenne. Deine "Empfehlungen" indes sind ausserordentlich zynisch !